[論文レビュー] Cohomology of split algebras and of trivial extensions

Claude Cibils, Eduardo N. Marcos+2 more|ArXiv.org|Feb 26, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$M$ を両側イデアルとする分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ のHochschildコホモロジーに対して、長完全系列を確立する。二重複体とカップ積を用いて、接続準同型を明示的に記述し、恒等的拡大の第一Hochschildコホモロジーが常に0でないことを証明する。これは単連結代数や変形論に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

We consider associative algebras L over a field provided with a direct sum decomposition of a two-sided ideal M and a sub-algebra A - examples are provided by trivial extensions or triangular type matrix algebras. In this relative and split setting we describe a long exact sequence computing the Hochschild cohomology of L. We study the connecting homomorphism using the cup-product and we infer several results, in particular the first Hochschild cohomology group of a trivial extension never vanishes.

研究の動機と目的

• 分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ のHochschildコホモロジーを、$A$ と $M$ の相対コホモロジーを用いて計算すること。
• カップ積を用いて、長完全系列における接続準同型を分析すること。
• 任意の恒等的拡大 $TA$ に対して $H^1(TA, TA) \neq 0$ であることを証明し、単連結代数に関する既知の結果を一般化すること。
• 一般枠組みを用いて、三角行列代数および一点拡大の既知の計算を回復すること。

提案手法

• 全コホモロジーが $H^*(\Lambda, \Lambda)$ を計算する二重複体を構成すること。
• スペクトル系列を用いて $H^*(\Lambda, \Lambda)$ を $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$（$X = A$ または $M$）と関連付けること。
• $M$ が $A$ 上で射影的であるとき、二重複体の第 $p$ 列のコホモロジーが $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$ に同型であることを示すこと。
• 恒等的自己準同型 $1_M$ とのカップ積を用いて、接続準同型 $\delta^{p,q}$ を記述し、$\delta^{p,q}(f) = 1_M \smile f$ を得ること。
• 恒等的拡大 $TA = A \oplus DA$ にこの枠組みを適用し、$H^1(TA, TA) \cong k \oplus H^1(A, A)$ を得ること。
• 三角行列代数および一点拡大に特化し、一般系列を用いて既知の結果を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分裂代数 $\Lambda = A \oplus M$ のHochschildコホモロジーは、$A$ と $M$ の相対コホモロジーを用いてどのように計算できるか？
• RQ2 長完全系列における $H^*(\Lambda, \Lambda)$ の接続準同型の明確な構造は何か？
• RQ3 恒等的拡大 $TA$ の第一Hochschildコホモロジーは常に0になるのか、その分解は何か？
• RQ4 一般枠組みは、三角行列代数および一点拡大の既知の結果を回復できるか？
• RQ5 カップ積構造は、$H^1(TA, TA)$ の非消滅にどのように寄与するか？

主な発見

• 恒等的拡大 $TA$ の第一Hochschildコホモロジーは $k \oplus H^1(A, A)$ に同型であり、これが常に0でないことを示した。
• 長完全系列における接続準同型 $\delta^{n,0}$ は、$f \in H^n(A, A)$ に対して $\delta^{n,0}(f) = 1_M \smile f$ で与えられる。
• 三角行列代数では、$f \in H^n(A, A)$ に対して $\delta^n f = 1_M \smile f$ が成り立ち、$g \in H^n(B, B)$ に対して $\delta^n g = (-1)^{n+1} g \smile 1_M$ が成り立つ。
• 二重複体の列のコホモロジーは $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$ を計算し、射影性の仮定の下で、これは $H^*(\Lambda, X)$ に収束するスペクトル系列を与える。
• $M$ が平方ゼロのイデアルで $MX = XM = 0$ であるとき、$H^n(\Lambda, X)$ は列のコホモロジーの直和に分解される。
• $H^1(TA, TA) \neq 0$ であるという結果は、恒等的拡大が常に単連結でないことを確認し、$H^1$ が消えると、有向サイクルがないことを示すという予想を支持する。この非消滅により、その予想に対する反例は除外される。