[論文レビュー] Cohomology of the vector fields Lie algebra and modules of differential operators on a smooth manifold

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|May 11, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、滑らかな多様体上のベクトル場のリー代数の、対称反変テンソル場への線形微分作用素の空間への係数をとる1次コホモロジー空間を計算する。主な結果として、このコホモロジーとテンソル密度上の微分作用素のモジュールとの間の直接的な関係を確立し、コホモロジー不変量を用いた同値関係による自然微分作用素の完全分類を提供する。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold, $\cal S$ the space of polynomial on fibers functions on $T^*M$ (i.e., of symmetric contravariant tensor fields). We compute the first cohomology space of the Lie algebra, $Vect(M)$, of vector fields on $M$ with coefficients in the space of linear differential operators on $\cal S$. This cohomology space is closely related to the $Vect(M)$-modules, ${\cal D}_λ(M)$, of linear differential operators on the space of tensor densities on $M$ of degree $λ$.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のベクトル場のリー代数の、対称反変テンソル場への線形微分作用素の空間への係数をとる1次コホモロジー空間を計算すること。
• このコホモロジーと次数λのテンソル密度上の微分作用素のモジュールとの関係を明確にすること。
• ベクトル場のリー代数の構造を用いた、テンソル密度上の自然微分作用素のコホモロジー的分類を提供すること。
• リー代数コホモロジー技法を用いて、多様体上の自然微分作用素の理解を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、余接 bundle T*M 上の多項式関数の空間 S に同型な対称反変テンソル場とみなされる、滑らかなベクトル場のリー代数 Vect(M) の作用を分析する。
• D を S 上の線形微分作用素の空間とするとき、H¹(Vect(M), D) である1次コホモロジー群を計算する。
• この計算は、テンソル密度上の微分作用素のモジュール Dλ(M) 及びそれらの Vect(M)-加群同型に関して同値類をとることに依存する。
• 著者たちは、Dλ(M) が λ ∈ ℝ によってパラメータ付けられる Vect(M)-加群の族をなすこと、およびそれらのコホモロジーがこれらの加群の構造と関係することを用いる。
• この方法では、対称テンソル場間の Vect(M)-不変微分作用素の空間を同定し、表現論的技法を用いる。
• 鍵となる技術的ステップは、コホモロジー計算を不変な双線形形式の研究および微分作用素の空間上の Vect(M)-加群構造の分類に還元することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上のベクトル場のリー代数の、対称反変テンソル場への線形微分作用素の空間への係数をとる1次コホモロジー空間は何か？
• RQ2 このコホモロジーは、多様体上の次数λのテンソル密度上の微分作用素のモジュールとどのように関係しているか？
• RQ3 どのテンソル密度上の微分作用素が、ベクトル場のリー代数の作用を通じて自然に定義されるか？
• RQ4 コホモロジー的手法を用いて、Vect(M)-加群の微分作用素の分類を完全に決定できるか？
• RQ5 パrameter λ は、加群 Dλ(M) 及びそのコホモロジー的不変量の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 1次コホモロジー空間 H¹(Vect(M), D) が明示的に計算され、対称テンソル場上の微分作用素の空間上の Vect(M)-加群構造の同値類を分類することが示された。
• コホモロジー空間は、特定のλ値に対して、テンソル密度モジュール Dλ(M) 間の Vect(M)-不変微分作用素の空間に同型である。
• 計算により、非自明なコホモロジーはベクトル場のリー代数がテンソル密度に作用する自然な作用に起因し、かつ有限次元であることが明らかになった。
• この結果により、1次コホモロジーとテンソル密度上の自然微分作用素の空間との完全な対応関係が確立された。
• 本稿では、加群 Dλ(M) が λ ∈ ℝ によってパラメータ付けられ、それらのコホモロジー的分類がλ不変構造によって完全に決定されることを示した。
• 著者たちは、コホモロジー群が、同値関係までに微分作用素上の Vect(M)-加群構造のすべての変形を捉えていることを証明した。