[論文レビュー] Cohomology of the vector fields Lie algebras on RP^1 acting on bilinear differential operators

Sofiane Bouarroudj|ArXiv.org|Sep 14, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実射影直線上の滑らかなベクトル場のリー代数 $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$ がテンソル密度間の双線形微分作用素に作用する場合の、部分代数 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ に関する相対コホモロジー群を計算し、同様の空間上での $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ の絶対コホモロジー群についても計算している。主な結果として、特定の重み $\lambda, \nu$ に対して相対コホモロジー群が三次元になることが判明し、線形作用素の場合の一次元の場合と対照的である。この計算は、Gordanの $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不変な双線形微分作用素の分類に基づいている。

ABSTRACT

The main topic of this paper is two folds. First, we compute the first relative cohomology group of the Lie algebra of smooth vector fields on the projective line, Vect(RP^1), with coefficients in the space of bilinear differential operators that act on tensor densities, D_{λ, ν;μ}, vanishing on the Lie algebra sl(2,R). Second, we compute the first cohomology group of the Lie algebra sl(2,R) with coefficients in D_{λ, ν;μ}.

研究の動機と目的

• 双線形微分作用素のテンソル密度上の $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$ を計算すること。
• 双線形微分作用素の空間に倣う $\mathrm{H}^1(\mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$ の第一コホモロジー群を特定すること。
• これらのコホモロジー群の構造を通じて、等変量子化手続きにおける $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$-不変性の障害を理解すること。
• 特に、コホモロジー群の次元が1を超える場合を特定するように、異なる重み $\lambda, \nu, \mu$ における次元の分類を行うこと。

提案手法

• $\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$ のテンソル密度への作用はリー微分により与えられ、双線形微分作用素へは導来作用公式を用いて拡張される。
• 相対コホモロジーは、$\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1)$-不変写像の1次コサイクル条件を、$\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不変な自明なコサイクルで割ったものとして計算される。
• 双線形微分作用素の空間は、その次数と係数でパラメータ化され、1次コサイクル条件は係数に関する線形方程式系に帰着される。
• Gordanの結果に基づく $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$-不変な双線形微分作用素の分類が、解空間の構造を特定するために用いられる。
• 各重み三重組 $(\lambda, \nu, \mu)$ に対して、自明なコサイクル $L_X J_k^{\lambda,\nu}$ による商をとった後の自由パラメータの数を数えることで、解空間の次元を解析する。
• 作用素の次数 $k$ が増加する順に、場合ごとの解析が行われ、$k=6,7$ については詳細な計算が行われ、$k \geq 8$ については漸近的推論が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実射影直線上の双線形微分作用素について、$\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}; \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}({\cal F}_\lambda \otimes {\cal F}_\nu, {\cal F}_\mu))$ の次元は何か？
• RQ2 どの $\lambda$ と $\nu$ の値に対してこのコホモロジー群が三次元になり、その次元の増加には幾何的または代数的根拠があるか？
• RQ3 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ が双線形微分作用素の空間に作用するコホモロジーと、$\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$ を相対部分代数として用いた相対コホモロジーとはどのように対比されるか？
• RQ4 転送作用素 $J_k^{\lambda,\nu}$ は、自明なコサイクルを除去し、真のコホモロジー類を特定するために果たす役割は何か？
• RQ5 $k \geq 8$ の場合、相対コホモロジー群が非自明になる条件は何か？また、それが一次元である可能性はあるか？

主な発見

• 相対コホモロジー群 $\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); {\cal D}_{\lambda,\nu;\mu})$ は、$k=6$ のとき $(\lambda, \nu) = (-\frac{s}{2}, -\frac{t}{2})$ で $0 \leq s,t \leq k-1$ かつ $t > k-s$ を満たす場合に三次元である。
• $k=6$ のとき、$(\lambda, \nu) = (0, \frac{-5-\sqrt{19}}{2})$ またはその対称的変形の場合、自明なコサイクルによる商をとった後も非自明な解空間が残るため、コホモロジーは三次元である。
• $(\lambda, \nu) = (-\frac{5}{2}, -\frac{5}{2})$ のとき、2つのパラメータが自明なコサイクルを加えることで消去可能であるため、コホモロジー群は二次元である。
• $k=6$ のとき、$(\lambda, \nu) = (-\frac{1}{2}, -2)$ またはその対称的対応の場合、$J_6^{\lambda,\nu}$ の非一意性により2つのパラメータが消去可能であるため、コホモロジー群は一次元である。
• 一般の $\lambda, \nu$ に対して $k \geq 8$ のとき、コホモロジー群は一次元であり、これは自明なコサイクル $L_X J_k^{\lambda,\nu}$ によって張られるため、自明である。
• $k=8$ のとき、$\mu = \frac{9}{2}$、$\lambda = 0$、$\nu = -\frac{7}{2}$ の場合、コホモロジー群は非自明で一次元であり、$\mathrm{H}^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{RP}^1), \mathrm{sl}(2,\mathbb{R}); {\cal D}_{0,-7/2;9/2}) \simeq \mathbb{R}$ である。