[論文レビュー] Cohomology of topological graphs and Cuntz-Pimsner algebras

Valentin Deaconu, Alexander Kumjian+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、局所コン pact な空間上の局所ホメオモルフィズムに関連する群コホモロジーの層コホモロジーを計算し、それらの群コホモロジーにおけるすべてのサークルツイストを同定し、ツイストの制限群コホモロジー C*-代数と C*-対応から構成された Cuntz-Pimsner 代数との間に自然な同型を確立する。主な結果は、群コホモロジー Γ(X,σ) のコホモロジーが X の層コホモロジーと同型であることを示しており、これによりブラウアー群の明示的計算が可能になり、群コホモロジー C*-代数と Cuntz-Pimsner 代数との関連が確立される。

ABSTRACT

We compute the sheaf cohomology of a groupoid built from a local homeomorphism of a locally compact space $X$. In particular, we identify the twists over this groupoid, and its Brauer group. Our calculations refine those made by Kumjian, Muhly, Renault and Williams in the case $X$ is the path space of a graph, and the local homeomorphism is the shift. We also show how the C*-algebra of a twist may be identified with the Cuntz-Pimsner algebra constructed from a certain C*-correspondence.

研究の動機と目的

• 局所コンpact で第二可算、ハウスドルフな空間 X 上の局所ホメオモルフィズム σ から構成される r-離散群コホモロジー Γ(X,σ) の層コホモロジーを計算すること。
• ブラウアー群に関する先行研究を精緻化するために、層コホモロジーを用いて Γ(X,σ) 上のすべてのサークルツイストを同定すること。
• ツイストの制限群コホモロジー C*-代数と、C*-対応から構成された Cuntz-Pimsner 代数との間に自然な同型を確立すること。
• X がグラフのパス空間で σ がシフト写像である場合に既知の結果を一般化・拡張すること、特にブラウアー群の消失に関する結果を含む。

提案手法

• 著者たちは [K3, 3.7] の長完全系列を用い、群コホモロジー Γ(X,σ) のコホモロジーと基底空間 X の層コホモロジーとの関係を確立する。
• アーベル群の層 A に対する Γ の作用を定義し、コycle関手の n 階の右導来関手が H^n(X,A) に同型であることを示す。
• X が局所コンpact であるとき、C₀(X) 上の C*-対応 ℓ²(σ) の構成を用いて、C*(Γ) が Cuntz-Pimsner 代数として実現されることを示す。
• Γ 上のツイストは X×𝕋 による拡張として特徴づけられ、制限群コホモロジー C*-代数 C*(Γ;Λ) は C*(Λ) の T-不変部分代数として定義される。
• ツイストの構成に用いられるデータを用いて、コycle条件とスケュー積構成を用いて、C*(Γ;Λ) と Cuntz-Pimsner 代数との同型を確立する。
• スケュー積構成は、G = ℝ のとき、X×G 上の群コホモロジーを交叉積と関連付けるために適用され、C*-代数が Cuntz 代数上の作用と関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホモロジー Γ(X,σ) の層コホモロジーは、基底空間 X の層コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ2 Γ(X,σ) 上のサークルツイストの完全な分類は何か？ また、群コホモロジーにおける 2-コycle とはどのように関係するか？
• RQ3 Γ(X,σ) 上のツイストの制限群コホモロジー C*-代数は、C*-対応から構成された Cuntz-Pimsner 代数と同定可能か？
• RQ4 Γ(X,σ) のブラウアー群がどのような条件下で消失するか？ これはグラフのパス空間に関する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ5 コycle c:X→G を用いたスケュー積構成により、積空間の群コホモロジー C*-代数はどのように交叉積と関連するか？

主な発見

• 層 A を係数とする群コホモロジー Γ の n 階コホモロジーは、自然に X の n 階層コホモロジー H^n(X,A) に同型である。すなわち、Hⁿ(Γ,A) ≅ Hⁿ(X,A)。
• 整数係数層 ℤ に対して、Γ のコホモロジーは H⁰(Γ,ℤ) = ℤ、H¹(Γ,ℤ) = ℤ、H²(Γ,ℤ) = ℤ/(p−q)ℤ、k ≥ 3 に対して Hᵏ(Γ,ℤ) = 0 である。
• X が sink を持たないグラフのパス空間であるとき、Γ のブラウアー群は消失する。なぜなら H³(Γ,ℤ) = 0 であるからである。
• ツイスト Λ に関連する制限群コホモロジー C*-代数 C*(Γ;Λ) は、C*-対応 ℓ²(σ) から構成された Cuntz-Pimsner 代数と自然に同型である。
• c:X→ℝ に対するスケュー積構成の下で、C*-代数 C*(Γ(X×ℝ,τ)) は交叉積 C*(Γ(X,σ) ×αℝ) に同型であり、作用 α は αₜ(Sₖ) = e^{itλₖ}Sₖ で与えられる。
• X = {1,…,n}^ℕ 上のベルヌーイシフトで、x₁ = k のとき c(x) = λₖ である場合、C*-代数 C*(Γ(X,σ)) は Cuntz 代数 𝒪ₙ に同型であり、関連する交叉積は Kishimoto の構成の特別な場合である。