[論文レビュー] Cohomology on Toric Varieties and Local Cohomology with Monomial Supports

David Eisenbud, Mircea Mustaţă+1 more|ArXiv.org|Jan 27, 2000

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多項式環における単項式台付き局所コホモロジーを計算するためのアルゴリズム的枠組みを構築する。これは、階数構造と線形計画法を活用し、Extモジュールが局所コホモロジーに安定化する条件を特定する。主な貢献は、局所コホモロジーの同次成分の有限次元性に関する有限性基準と、収束に必要な単項式イデアルの冪の明示的上限を提供することであり、Cox構成を用いることで、トーリック多様体上の層コホモロジーの有効な計算が可能になる。

ABSTRACT

We study the local cohomology modules H^i_B(R) for a reduced monomial ideal B in a polynomial ring R=k[X_1,...,X_n]. We consider a grading on R which is coarser than the Z^n-grading such that each component of H^i_B(R) is finite dimensional and we give an effective way to compute these components. Using Cox's description for sheaves on toric varieties, we apply these results to compute the cohomology of coherent sheaves on toric varieties. We give algorithms for this computation which have been implemented in the Macaulay 2 system. We obtain also a topological description for the cohomology of rank one torsionfree sheaves on toric varieties.

研究の動機と目的

• 単項式台付き局所コホモロジー・モジュールの同次成分がすべてのδ ∈ Dに対して有限次元となる条件を確立すること。
• 局所コホモロジーと単項式台を用いて、完全なトーリック多様体上の層コホモロジーを計算するアルゴリズム的手法を開発すること。
• 各δ ∈ 階数群Dに対して、Ext^i(S/B^{[ℓ]}, P)_δ → H^i_B(P)_δ が同型となるような明示的上限ℓを特定すること。
• H^i_B(S)_p ≠ 0 となる次数p ∈ ℤ^n のトポロジカルな特徴付けを提供すること。
• Ext → 局所コホモロジー写像の単射性に関する基礎的問題と、このような写像が安定化する条件を解明すること。

提案手法

• 多項式環S = k[x₁,…,xₙ]に、ℤⁿ → D という全射によって誘導される粗い階数Dを導入し、局所コホモロジーの同次成分の有限性を回復すること。
• ℓを、線形計画法の解法によって決定することで、H^i_B(P)_δ の計算を極限構成を用いて Ext^i(S/B^{[ℓ]}, P)_δ に還元すること。
• Hilbertのシジージ定理と階数モジュール論を応用し、Extおよび局所コホモロジー成分の有限次元性を保証すること。
• トーリック多様体のCox構成を活用し、不適切イデアルBが平方自由単項式であり、階数Dが不変除数類群であることを用いること。
• H^i_B(S)_p がp ∈ ℤⁿの座標の符号にのみ依存することを応用し、トーリック多様体のファンを用いた非ゼロ成分の特徴付けを行うこと。
• シジージデータと線形計画法を用いて、Ext^i(S/B^{[ℓ]}, P)_δ → H^i_B(P)_δ が同型となるような明示的イデアルB^{[ℓ]}を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式環Sに与えられた階数Dについて、すべてのδ ∈ Dおよびすべてのiに対して、H^i_B(S)_δ が有限次元となるのはどのような場合か？
• RQ2 有限生成D-階数SモジュールPと単項式イデアルBが与えられたとき、与えられたδ ∈ Dに対して、Ext^i(S/B^{[ℓ]}, P)_δ → H^i_B(P)_δ が同型となる最小のℓは何か？
• RQ3 すべてのiに対して、自然写像 Ext^i(S/I, S) → H^i_I(S) が単射のままであるのはいつか？ また、このような写像が、Iの冪に関するExtモジュールからの単射写像の和集合として実現可能となるのはいつか？
• RQ4 単項式イデアルBと階数Dが満たすべき条件は何か？ これにより、局所コホモロジー H^i_B(S)_δ が、B^{[ℓ]}上のExtモジュールを介して安定化するか？
• RQ5 H^i_I(S) = ⋃ Ext^i(S/I_d, S) を満たすイデアル列{I_d}の非存在基準を、Frobeniusの冪とF-正則性を用いて構成できるか？ 特に正標数においては、非完備素イデアルに対してこのような列が存在しない可能性がある。

主な発見

• すべてのδ ∈ Dおよびすべてのiに対して、同次成分H^i_B(S)_δ が有限次元であることは、Dと単項式イデアルBが完全なトーリック多様体の同次座標環から生じることに同値である。
• 各δ ∈ Dに対して、計算可能なℓが存在し、自然写像 Ext^i(S/B^{[ℓ]}, S)_δ → H^i_B(S)_δ が同型となる。ℓはSのシジージに基づく線形計画法の解法によって決定される。
• p ∈ ℤⁿ に対する成分H^i_B(S)_p は、pの座標の符号にのみ依存するため、トーリック多様体のファンを用いたトポロジカルな特徴付けが可能である。
• 完全なトーリック多様体上の連接層の層コホモロジーは、その関連D-階数モジュールの局所コホモロジーを用いて計算可能であり、有限性基準により収束が保証される。
• Frobeniusの冪とF-正則性を用いた非存在基準により、H^i_I(S) = ⋃ Ext^i(S/I_d, S) を満たす列{I_d}の非存在を示し、正標数において非完備素イデアルではこのような列が存在しない可能性があることを示した。
• 本稿では、トーリック多様体上の層コホモロジーの消滅定理を証明した：D + E がQ-アーマーであるようなE（0 ≤ a_j ≤ 1）が存在するとき、すべてのi ≥ 1に対してH^i(O_X(D)) = 0である。