[論文レビュー] Cohomology rings of good contact toric manifolds

Shisen Luo|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、モーメント錐の組合せ的データを用いて、良い接触トーリック多様体の等長同型および特異コホモロジー環を計算する。同定されたコホモロジー環は、錐の原始的法ベクトルから導かれる線形および二次関係によって生成されるイデアルによる多項式環の商と同型であり、シンプレクティックトーリック幾何における手法を滑らかさ条件の下で接触設定へと拡張する。

ABSTRACT

A good contact toric manifold $M$ is determined by its moment cone $C$. We compute the equivariant cohomology ring with $\Z$ coefficient of $M$ in terms of the combinatorial data of $C$. Then under a smoothness criterion on the cone $C$, we compute the singular cohomology ring with $\Z$ coefficient of $M$ in terms of the combinatorial data of $C$.

研究の動機と目的

• 良い接触トーリック多様体のモーメント錐の組合せ的構造を用いて、その等長同型コホモロジー環を特定すること。
• モーメント錐の滑らかさ条件の下で、整数係数の特異コホモロジー環を計算すること。
• シンプレクティックトーリック幾何における手法、特にダヴィス＝ジャヌシュキエヴィッチのアプローチを接触設定へと拡張すること。
• コホモロジー生成子が、シンプレクティックトーリック多様体に関する先行研究で用いられたものと一致することを示すこと。
• コホモロジー構造が等長同型写像の不変量であることを確立し、組合せ的分類を可能にする。

提案手法

• ダヴィス＝ジャヌシュキエヴィッチのトーリック多様体に対する構成と類似する、モーメント錐の組合せ的データを用いた良い接触トーリック多様体の位相的モデルを構築する。
• Borelの構成を用いて、係数を整数とする等長同型コホモロジーを、空間 $ET^n \times_{T^n} M$ のコホモロジーとして定義する。
• チェーン類写像を適用し、$BT^n$ 上のトートロジカルラインバンドルの第一チャーン類と等長同型コホモロジー生成子 $x_i$ を関連付ける。
• 滑らかさ基準を課す：モーメント錐と超平面 $x_n = 1$ の交わりがデルツァント多面体をなしており、${\mathbb{Z}}^{n-1}$ への原始的法ベクトルの射影が原始的であること。
• 多項式環の商環と多様体のコホモロジー環との間の同型を確立し、錐データから得られる線形および二次関係によって生成されるイデアルによる商として表す。
• 異なるモデル間での生成子の一貫性を検証するために、等長同型コホモロジー環間の引き戻し写像の図式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い接触トーリック多様体の等長同型コホモロジー環は、そのモーメント錐の組合せ的データのみを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 このような多様体の特異コホモロジー環が、同じ組合せ的データによって提示可能となる条件は何か？
• RQ3 良い接触トーリック多様体のコホモロジー生成子は、シンプレクティックトーリック多様体のそれらとどの程度一致するか？
• RQ4 良い接触トーリック多様体のコホモロジー構造は、等長同型写像の下で、そのモーメント錐に完全に依存するか？
• RQ5 モーメント錐の滑らかさ基準が、コホモロジー環が標準的な多項式商環と同型であることを保証するか？

主な発見

• 等長同型コホモロジー環 $H^*_{T^n}(M; \mathbb{Z})$ は、$\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_m] / I$ と同型であり、ここで $I$ はモーメント錐の面およびその法ベクトルから導かれる線形および二次関係によって生成されるイデアルである。
• 滑らかさ基準の下で、特異コホモロジー環 $H^*(M; \mathbb{Z})$ は $\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_m] / J$ と同型であり、ここで $J$ は等長同型の場合と同じ関係によって生成され、リーブ作用のオイラー類によって生成されるイデアルをさらに商取ったものである。
• コホモロジー生成子は、本稿の定理4.4および[TW]の定理7で用いられたものと一致し、シンプレクティックトーリック幾何における先行結果と整合性を確認する。
• 原点を除いたモーメント錐が $x_n > 0$ の上半空間にあるという仮定は一般性を制限しない。なぜなら、任意のこのような多様体は、この条件を満たす多様体と等長同型写像で同相であるからである。
• コホモロジー環構造は等長同型写像の不変量であるため、すべてのコホモロジー的データはモーメント錐の組合せ的型に完全に符号化されている。
• 本稿は、滑らかさ条件の下で、良い接触トーリック多様体のコホモロジー環が、その面の原始的内向き法ベクトルによって完全に決定されることを確認した。