[論文レビュー] Coil-Stretch Transition and the Break Down of Continuum Models

Mohit Bajaj, Matteo Pasquali+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2007

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、円筒周りのOldroyd-B流体シミュレーションにおける高ワイセンベルグ数問題（HWNP）が、流れ下の高分子分子内におけるコイル-ストレッチ遷移に起因することを示している。これは無限に延長可能な高分子のため、応力の無限増大に起因する。これに対して、有限延長性を持つFENE-Pモデルでは応力が有界であり、分子の延長が飽和するため、Wi ≈ 1で連続体モデルの数値的失敗が生じる。

ABSTRACT

The breakdown of finite element (FEM) computations for the flow of an Oldroyd-B fluid around a cylinder confined between parallel plates, at Weissenberg numbers Wi = O(1), is shown to arise due to a coil-stretch transition experienced by polymer molecules traveling along the centerline in the wake of the cylinder. With increasing Wi, the coil-stretch transition leads to an unbounded growth in the stress maximum in the cylinder wake. Finite element computations for a FENE-P fluid reveal that, although polymer molecules undergo a coil-stretch transition in the cylinder wake, the mean extension of the molecules saturates to a value close to the fully extended length, leading to bounded stresses with increasing Wi. The existence of a coil-stretch transition has been deduced by examining the behavior of ultra-dilute Oldroyd-B and FENE-P fluids. In this case, the solution along the centerline in the cylinder wake can be obtained exactly since the velocity field is uncoupled from the stress and conformation tensor fields. Estimation of the number of finite elements required to achieve convergence reveals the in-feasibility of obtaining solutions for the Oldroyd-B model for Wi > 1.

研究の動機と目的

• 高ワイセンベルグ数における粘弾性流れの有限要素法シミュレーションにおける数値的破綻の物理的起源を調査すること。
• Oldroyd-Bモデルの失敗が、高分子の延長における数学的特異性か物理的不安定性に起因するかを特定すること。
• 円筒流れ配置における超希釈および希釈状態のOldroyd-BおよびFENE-P流体の挙動を比較すること。
• Wi > 1における粘弾性流れの有限要素計算の可能性を評価すること。
• マクロな応力特異性とミクロな高分子構造遷移を結びつけること。

提案手法

• 速度場と応力場が結合しない超希釈Oldroyd-BおよびFENE-P流体の解析により、コンフォーメーションテンソル方程式の正確な解が可能となる。
• コンフォーメーションテンソルを用いて高分子の延長を追跡し、完全な流体力学的結合を回避して応力を計算する。
• 円筒の流れ下の中心線に沿ったコンフォーメーションテンソル方程式の数値的解法により、最大延長および応力を計算する。
• 応力最大点における次元なしひずみ率λκxxが0.5の臨界値に近づく様子を評価する。
• Mxxにおける1%の誤差を維持するための有限要素メッシュの細分化要件を推定し、Oldroyd-BではWiとともに指数関数的に増大することが判明する。
• 増加するWi値におけるOldroyd-BおよびFENE-Pモデルの応力および延長挙動を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高分子内のコイル-ストレッチ遷移が、Wi ≈ 1におけるOldroyd-Bシミュレーションでの有限要素法の破綻を説明できるか？
• RQ2 なぜFENE-Pシミュレーションは高Wiでも安定しているのに対し、Oldroyd-Bシミュレーションは失敗するのか？
• RQ3 高分子の延長性が、円筒流れ下における応力の有界性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 応力最大点における次元なしひずみ率λκxxが、応力の無限増大の始まりとどのように関係するか？
• RQ5 超希釈状態におけるコンフォーメーションテンソルの挙動が、希釈で完全に結合された流れにおける挙動をどの程度正確に予測できるか？

主な発見

• 超希釈Oldroyd-B流体では、WiがO(1)を超えるとλκxxは0.5に近づき、これに伴いMxxおよびσ*xxが無限に増大し、数値的失敗が生じる。
• Oldroyd-Bでは、Mxxにおける1%の誤差を維持するための有限要素数はWiとともに指数関数的に増大し、Wi > 1では計算的に不可能になる。
• これに対してFENE-P流体では、λκxx = 0.5に近づくとMxxおよびσ*xxが急激に増加するが、高Wiで飽和し、有界のまま保たれる。これは有限延長性を伴う物理的コイル-ストレッチ遷移を示している。
• Mxxの最大値が無限大に発散するのは、λκxxが0.5に近づく場合に限るが、これはOldroyd-Bでは成立するがFENE-Pでは成立しない。これにより、有限延長性の重要性が確認される。
• 希釈Oldroyd-B流れでは、Wi ≈ 0.6でλκxxが0.5に達し、文献で報告されている計算上の困難の発生と一致する。
• 流れ下の材料要素はほぼ8のヘンキーひずみを蓄積しており、ダムベルが複数の有限要素をまたがることで、数値的不安定性が増幅されている。