[論文レビュー] Coincidence free pairs of maps

Ulrich Koschorke|ArXiv.org|Jun 1, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多様体間の写像の対に対する最小一致点数を測る強力なニールセン数 $ N^\#(f_1,f_2) $ を導入することで、位相的一致理論を前進させた。また、一致なしの対によるホモトピー集合のフィルトレーションを確立した。実射影空間および複素射影空間への写像に対して、一致なしの対を有するホモトピー類の集合が部分群をなすことを証明し、安定範囲で $ \pi_m^c(\mathbb{K}P(n')) = 0 $ であることを明示的に計算した。さらに、特定の状況では $ \pi_m^{(2)}(\mathbb{K}P(n')) \cong \mathbb{Z}_2 $ が成り立つ。

ABSTRACT

This paper centers around two basic problems of topological coincidence theory. First, try to measure (with help of Nielsen and minimum numbers) how far a given pair of maps is from being loose, i.e. from being homotopic to a pair of coincidence free maps. Secondly, describe the set of loose pairs of homotopy classes. We give a brief (and necessarily very incomplete) survey of some old and new advances concerning the first problem. Then we attack the second problem mainly in the setting of homotopy groups. This leads also to a very natural filtration of all homotopy sets. Explicit calculations are carried out for maps into spheres and projective spaces.

研究の動機と目的

• ホモトピーの下で写像の対がどれほど一致なしに近いかを、ニールセン数と最小数を用いて測ること。
• 一致なしの代表対を有するホモトピー類の集合を特徴づけること。
• 一致なしの対の存在に基づいてホモトピー集合のフィルトレーションを構築すること。
• 特に $ \mathbb{R}P(n') $ および $ \mathbb{C}P(n') $ における球面および射影空間における明示的計算を実施すること。

提案手法

• 一致集合のパス空間 $ E(f_1,f_2) $ を用いた分解から導かれる強力なニールセン数 $ N^\#(f_1,f_2) $ を導入する。
• 写像 $ \widetilde{g}: C(f_1,f_2) \to E(f_1,f_2) $ を用いて、ニールセンの固定点同値を一致理論へ一般化する。
• 安定ホモトピー論およびススペンションを用いて $ \partial_\mathbb{R} $ を分析し、自己交差不変量と関連付ける。
• 特徴的クラスを活用して、$ \mathbb{K}P(n') $ への写像が球面へ上に lifts される条件を特定し、一致なしの対の構成を可能にする。
• 配置空間およびファイバー束の完全系列を用いて、$ \widetilde{C}_2(N) $ のホモトピー群と $ \pi_m^{(2)}(N) $ を関連付ける。
• トーダの表と既知の安定ホモトピー群を用いて、$ \pi_m^{(2)}(\mathbb{R}P(n')) $ および $ \pi_m^c(\mathbb{R}P(n')) $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピーの下で写像の対の最小一致点数は何か？ そして、ニールセン数のような位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ2 どのホモトピー類の写像の対が、一致なしの代表対を有するか？
• RQ3 射影空間への写像のホモトピー類の集合は、一致なしの対の存在によってどのようにフィルタリングできるか？
• RQ4 $ \pi_m^{(2)}(\mathbb{K}P(n')) $ の構造は何か？ そして、完全なホモトピー群 $ \pi_m(\mathbb{K}P(n')) $ と比べてどう異なるか？
• RQ5 標準的射影 $ p: S^{n+d-1} \to \mathbb{K}P(n') $ がセクションを持つ条件は何か？ そして、これは一致なしの対の存在にどのように影響するか？

主な発見

• $ M = S^m $ の場合、一致なしの対を有するホモトピー類の集合は $ \pi_m^c(\mathbb{K}P(n')) \oplus \pi_m^c(\mathbb{K}P(n')) $ に同型であり、これは $ \pi_m(\mathbb{K}P(n')) $ の部分群である。
• $ \mathbb{K} = \mathbb{R} $ で $ n' $ が奇数のとき、$ \pi_m^{(2)}(\mathbb{R}P(n')) = \pi_m(\mathbb{R}P(n')) $ であるが、$ n' $ が偶数のときは $ \pi_m^{(2)}(\mathbb{R}P(n')) $ は真に小さい。
• $ m < 2n - 2 $ のとき、$ \ker \partial_\mathbb{R} = \{ z \in \pi_m(S^n) \mid (1 + (-1)^n) \cdot z = 0 \} $ が成り立ち、ススペンションと自己交差不変量を結びつける。
• 明示的計算により、$ \pi_9^c(\mathbb{R}P(6)) = 0 $、$ \pi_9^{(2)}(\mathbb{R}P(6)) \cong \mathbb{Z}_2 $、および $ \pi_9(\mathbb{R}P(6)) \cong \mathbb{Z}_{24} $ が得られた。
• 同様に、$ \pi_{17}^c(\mathbb{R}P(10)) = 0 $、$ \pi_{17}^{(2)}(\mathbb{R}P(10)) \cong \mathbb{Z}_2 $、および $ \pi_{17}(\mathbb{R}P(10)) \cong \mathbb{Z}_{240} $ が、トーダの表により確認された。
• 配置空間のホモトピー群における同型 $ p_{2,2*} \circ p_{2,1*}^{-1} $ は、中心的な群同型 $ c $ を実現し、これは緩い対を特徴付ける上で重要である。