[論文レビュー] Coincidence of the continuous and discrete p-adic wavelet transforms

Sergio Albeverio, С. В. Козырев|ArXiv.org|Feb 2, 2007

advanced mathematical theories参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、p進数の超距離構造のおかげで、特定のp進ウェーブレットを用いる場合、連続的および離散的p進ウェーブレット変換が一致することを確立している。主な結果は、このウェーブレットの平行移動およびスケーリングが、単位根を除いて離散ウェーブレット基底のベクトルに一致することであり、p進設定下での連続的および離散的変換の等価性を示している。

ABSTRACT

We show that translations and dilations of a p-adic wavelet coincides (up to the multiplication by some root of one) with a vector from the known basis of discrete p-adic wavelets. In this sense the continuous p-adic wavelet transform coincides with the discrete p-adic wavelet transform. The p-adic multiresolution approximation is introduced and relation with the real multiresolution approximation is described. Relation of application of p-adic wavelets to spectral theory of p-adic pseudodifferential operators and the known results about sparsity of matrices of some real integral operators in the bases of multiresolution wavelets is discussed.

研究の動機と目的

• p進調和解析の文脈において、連続的および離散的p進ウェーブレット変換の関係を調査すること。
• p進平行移動およびスケーリングを用いて、L²(Qₚ)におけるマルチスケール近似フレームワークを確立すること。
• p進ウェーブレットとp進擬微分作用素のスペクトル理論との関係を調査すること。
• 特にスパarsityおよび基底構成に関して、実数とp進ウェーブレット理論の構造的差異を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、特徴指標と単位球の特性関数の積として定義される原型的p進ウェーブレット ψ(x) = χ(p⁻¹x)Ω(|x|ₚ) を導入する。
• 任意の離散p進ウェーブレット基底 {ψ_γnj} の要素が、単位根を除いてψの平行移動およびスケーリングとして得られることを示す。
• 連続的p進ウェーブレット変換は、アフィン群作用を用いて定義される：G(a,b)f(x) = |a|ₚ⁻¹ᐟ² f((x−b)/a)。
• 逆ウェーブレット変換は、f(x) = C_Ψ⁻¹ ∫ (da db / |a|ₚ²) (Tf)(a,b) Ψ^{a,b}(x) として表現され、C_Ψは適性条件により定義される。
• p進ウェーブレットと正の実数直線上のハールウェーブレットを結びつけるために、Monna写像 ρ: Qₚ → ℝ₊ が用いられる。特にp=2の場合に有効である。
• L²(Qₚ)におけるマルチスケール解析の構築は、実数の場合とは異なり、ℤではなくQₚ/Zₚによる平行移動に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のウェーブレット選択のもとで、連続的p進ウェーブレット変換と離散的p進ウェーブレット変換が一致するか？
• RQ2 p進設定において、マルチスケール解析を自然に定義する方法は何か？また、実数の場合とどのように異なるか？
• RQ3 超距離性が連続的および離散的変換の一致を可能にする役割は何か？
• RQ4 p進ウェーブレットは、p進擬微分作用素のスペクトル理論とどのように関係するか？
• RQ5 p進ウェーブレット基底を、ハール基底のような既知の実数ウェーブレット基底に写像できるか？

主な発見

• ウェーブレット ψ(x) = χ(p⁻¹x)Ω(|x|ₚ) を用いる場合、任意の平行移動およびスケーリングが単位根を除いて基底要素に一致するため、連続的および離散的p進ウェーブレット変換は等価である。
• 離散p進ウェーブレット基底 {ψ_γnj} は、ψに対するp進アフィン群の作用の軌道をなしており、群作用はa,b ∈ Qₚ（a ≠ 0）でパrameter化される。
• 適性定数 C_Ψ がL²ノルムおよびウェーブレットの重複積分により定義されるため、L²(Qₚ)においてウェーブレット変換の逆公式が成り立つ。
• テスト関数のBruhat–Schwartz空間 D(Qₚ) は、Qₚ/Zₚによる平行移動に基づき、L²(Qₚ)の自然なマルチスケール近似であることが示された。
• p=2の場合、Monna写像 ρ はp進ウェーブレット基底とℝ₊上のハールウェーブレット基底の間で一対一かつ測度を保つ対応を提供する。
• p進ノルムの超距離性が関数の局所定数性を引き起こし、これが微小な平行移動およびスケーリングにおけるウェーブレットの不変性をもたらし、連続的および離散的変換の一致を可能にしている。