[論文レビュー] Coined Quantum Walks as Quantum Markov Chains

Renato Portugal, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフ Γ 上の一般化グローバー コインを用いたフリップフロップ型のコイン付き量子ウォークと、Γ の部分分割グラフ上の シェジディの量子ウォークとの間で直接的な同等性を確立する。中間モデル（例：ちらつきウォークや線グラフ）を回避する。主な貢献は、内部コイン空間を部分分割を介してグラフ構造に埋め込むことで、位相的迂回を避けた直接的な写像を可能にする構成的変換手法の提示である。

ABSTRACT

We analyze the equivalence between discrete-time coined quantum walks and Szegedy's quantum walks. We characterize a class of flip-flop coined models with generalized Grover coin on a graph $Γ$ that can be directly converted into Szegedy's model on the subdivision graph of $Γ$ and we describe a method to convert one model into the other. This method improves previous results in literature that need to use the staggered model and the concept of line graph, which are avoided here.

研究の動機と目的

• 中間モデルに依存せずに、コイン付き量子ウォークとシェジディの量子ウォークとの直接的同等性を確立すること。
• コイン付きウォークとシェジディウォークを結ぶ際に、ちらつき量子ウォークモデルや線グラフ構成の必要性を排除すること。
• フリップフロップ型のコイン付きウォーク（一般化グローバー コインを用いる）で、部分分割グラフ S(Γ) 上のシェジディウォークに同等であるクラスを特定すること。
• 両モデル間の構成的変換手法を提供し、ユニタリダイナミクスとヒルベルト空間構造を保存すること。

提案手法

• ユニタリ演算子 U = S C′ を用いて、多価グラフ Γ 上のフリップフロップ型コイン付き量子ウォークを定義する。ここで S はシフト演算子、C′ は頂点固有の部分空間に作用するコイン演算子である。
• 有向弧 A(Γ) と計算基底状態 |v,j⟩ の間の全単射 ξ を導入し、コイン付きウォークをヒルベルト空間 H_A に写像する。H_A は H^{2|E|} に同型である。
• コイン付きウォークのヒルベルト空間を弧ベースのヒルベルト空間 H_A に翻訳するユニタリ写像 V_ξ を構成する。これにより、シフトが V_ξ^{-1} S V_ξ |a⟩ = |ā⟩ と表現可能になる。
• コイン付きウォークを部分分割グラフ S(Γ) に埋め込むことで、シェジディのモデルにマッピングする。ヒルベルト空間は |x,y⟩（x ∈ X, y ∈ Y）で張られ、X と Y は S(Γ) の頂点を分割する。
• コイン振幅と辺状態から遷移行列 P と Q を定義し、P′^T = Q′ を満たすようにし、シェジディのウォークに必要な確率的構造を確認する。
• S(Γ) の辺で張られる部分空間上でウォークのダイナミクスが適切に定義されることを示し、残りの空間はウォークが恒等写像として作用するアイドル部分空間を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化グローバー コインを用いたフリップフロップ型のコイン付き量子ウォークが、どのような条件下で直接的にシェジディの量子ウォークにマッピング可能か？
• RQ2 ちらつきモデルや線グラフ構成を用いずに、コイン付きウォークとシェジディウォークの同等性を確立できるか？
• RQ3 グラフが完全でない場合、シェジディモデルのヒルベルト空間次元は元のコイン付きモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ4 どのような構造的条件が、シェジディモデルにおけるウォークダイナミクスがユニタリかつ適切に定義されることを保証するか？

主な発見

• グラフ Γ 上で一般化グローバー コインを用いたフリップフロップ型のコイン付きウォークのクラスは、部分分割グラフ S(Γ) 上のシェジディの量子ウォークと同等である。
• 変換手法はちらつき量子ウォークモデルや線グラフを回避しており、より直接的かつ概念的に単純な同等性を実現する。
• Γ が完全グラフでない場合、同値なシェジディウォークのヒルベルト空間は、元のコイン付きウォークのそれよりも大きくなる。これは S(Γ) の二部グラフ構造に起因する。
• 非完全な二部グラフ上でのシェジディウォークには、ウォークが恒等写像として作用するアイドル部分空間が存在し、この写像によってもその性質が保たれる。
• S(Γ) の辺で張られる部分空間上でのウォークダイナミクスはユニタリであり、元のコイン付きウォークと同等である。残りの空間は進化に寄与しない。
• ユニタリ変換 V_ξ を通じてコイン空間が弧ベースの状態に写像され、コイン演算子がシェジディの遷移行列に直接的に翻訳可能である。