[論文レビュー] Coisotropic Hofer-Zehnder capacities and non-squeezing for relative embeddings

Samuel Lisi, Antonio Rieser|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、古典的ホーファー＝ツェンダー容量の変形を用いて構成された、コイズォトロピック部分多様体に関する相対的なシンプレクティック容量であるコイズォトロピックホーファー＝ツェンダー容量を導入する。主な貢献は、相対的シンプレクティック埋め込みに関する非圧縮定理の確立および、有限容量と横断的条件の下でコイズォトロピック部分多様体に横断的に交わるエネルギー面における葉ごとの調和の存在である。

ABSTRACT

We introduce the notion of a symplectic capacity relative to a coisotropic submanifold of a symplectic manifold, and we construct two examples of such capacities through modifications of the Hofer-Zehnder capacity. As a consequence, we obtain a non-squeezing theorem for symplectic embeddings relative to coisotropic constraints and existence results for leafwise chords on energy surfaces.

研究の動機と目的

• . コイズォトロピック部分多様体に関するシンプレクティック容量を定義し構成すること。
• . コイズォトロピック部分多様体によって制約されるシンプレクティック埋め込みに関する非圧縮定理を確立すること。
• . コイズォトロピック部分多様体に横断的に交わるエネルギー面上での葉ごとのハミルトニアン調和の存在を証明すること。
• . アーベル的同値関係を用いて、アイソトロピック葉上の同値関係を導入することで、ホーファー＝ツェンダー容量の枠組みをコイズォトロピック設定に拡張すること。
• . 与えられたエネルギー準位の近傍で、ほとんどすべてのエネルギー準位において葉ごとの調和が存在するための条件を提供すること。

提案手法

• . コイズォトロピック部分多様体 N ⊂ (M, ω) 上にコイズォトロピック同値関係 ∼ を定義する。ここで、x ∼ y とは、x と y が特性 foliation の同一のアイソトロピック葉上にあることを意味する。
• . コイズォトロピック同値関係を用いて古典的ホーファー＝ツェンダー容量を変形することで、2つのコイズォトロピックホーファー＝ツェンダー容量の例を構成する。
• . その容量を用いて、コイズォトロピック構造を保つ相対的シンプレクティック埋め込み ψ: (M₀, N₀, ω₀) → (M₁, N₁, ω₁) に対する非圧縮結果を導出する。
• . 容量に基づく議論を用いて、Sλ 上に非定数の葉ごとの調和が存在することを示すために、f' ≠ 0 を満たす F = f(H) としてハミルトニアン F を構成する。
• . アルツェラ＝アスコリの定理およびコンパクトネスの議論を用いて、一様に有界な帰還時間とコンパクトネスの仮定の下で、極限エネルギー準位 α における調和の存在を示す。
• . [19, Chapter 4] の結果を適応することで、パrametrizedされた超曲面族におけるエネルギー準位のフル測度集合で葉ごとの調和が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . コルトゥルスのホーファー＝ツェンダー容量に類似した、コイズォトロピック部分多様体に関するシンプレクティック容量を定義できるか？
• RQ2 . 有限なコイズォトロピック容量が、コイズォトロピック部分多様体によって制約される相対的シンプレクティック埋め込みにおける非圧縮現象を示唆するか？
• RQ3 . コイズォトロピック部分多様体上のハミルトニアン系が、ほとんどすべてのエネルギー準位において葉ごとの調和をもつための条件は何か？
• RQ4 . 帰還時間が一様に有界であるとき、極限エネルギー準位においても葉ごとの調和が保証されるか？
• RQ5 . パrametrizedされた超曲面族において、エネルギー準位のフル測度集合で葉ごとの調和が存在するための条件は何か？

主な発見

• . コイズォトロピック部分多様体への相対的シンプレクティック埋め込みに関する非圧縮定理が確立され、古典的非圧縮結果が一般化された。
• . 任意のエネルギー準位 α に対して、容量 c(M, N, ω, ∼) が有限で、Sα がコンパクトかつ N に横断的であるならば、帰還時間が有界でコンパクトネスが成り立つ条件下で、Sα 上に葉ごとの調和が存在する。
• . 能量準位 λj → α となる列 {λj} が存在し、各 Sλj 上に葉ごとの調和が存在する。この性質は α の近傍のすべての λ に対して成り立つ。
• . 超曲面 Sϵ が c0-リプシッツ型で N に横断的である限り、調和が存在するエネルギー準位 ϵ ∈ I の集合は、フル・レベーグ測度を持つ。
• . 容量 c(M, N, ω, ∼) < ∞ の仮定の下で、パrametrizedされた超曲面族におけるエネルギー準位のフル測度集合で、葉ごとの調和が保証される。
• . 容量論的およびコンパクトネスの議論を用いて、周期的軌道の古典的存在定理をコイズォトロピック部分多様体上の葉ごとの調和の設定に拡張した。