[論文レビュー] Cokernels of adjacency matrices of random $r$-regular graphs

Hoi H. Nguyen, Melanie Matchett Wood|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Graph theory and applications参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Mészárosの混合結果とWoodのモーメント法を用いて、ランダムな$r$-正則グラフの隣接行列のココアーナル分布を研究する。$r \geq 3$ に対して、$r$ 個の独立した一様な$n \times n$置換行列の和のココアーナルが、有限アーベル群上の極限測度に分布収束することを証明し、そのモーメントは$(r,m)$-ペアによって定まる。$p \mid r$ の場合に新しい分布が現れる。この結果は、このような行列の漸近的非特異性を示す。

ABSTRACT

We study the distribution of the cokernels of adjacency matrices (the Smith groups) of certain models of random $r$-regular graphs and directed graphs, using recent mixing results of Mészáros. We explain how convergence of such distributions to a limiting probability distribution implies asymptotic nonsingularity of the matrices, giving another perspective on recent results of Huang and Mészáros on asymptotic nonsingularity of adjacency matrices of random regular directed and undirected graphs, respectively. We also remark on the new distributions on finite abelian groups that arise, in particular in the $p$-group aspect when $p\mid r$.

研究の動機と目的

• ランダムな$r$-正則グラフおよび有向グラフの隣接行列のココアーナル（スミス群）の極限分布を理解すること。
• ココアーナル分布の収束を、これらの行列の漸近的非特異性に関連づけ、Huangの結果（特異確率が0に近づく）の別証明を提供すること。
• 特に$p$ が$r$ を割る場合の$p$-群における、有限アーベル群上に現れる新しい確率分布を特定すること。
• 固定された行和と列和を持つ構造化されたランダム行列集合へのCohen-Lenstra予想を拡張すること。
• $n_{P}$、すなわち$n$ の$P$-部（$P$ に属する素数からなる最大の因子）に依存するモーメントの依存関係を分析し、$r$ と$|V|$ が互いに素でない場合の非一様収束を示すこと。

提案手法

• Mészárosによる群上のランダムウォークの最近の混合結果を用いて、$r$ 個の独立した一様な$n \times n$置換行列の和のココアーナルの分布を分析する。
• ランダムな有限アーベール群のモーメント法を適用し、第二著者のアーベール群のモーメント問題に関する研究に依存する。
• $r$- torsion および差による生成を含む条件を満たす$(r,m)$-ペア$(V, B)$（$V$ は有限アーベール群、$B$ はコセット）を定義し、その分析を行う。
• ココアーナルから有限アーベール群$V$ への全射の期待値の極限を計算し、それがすべての$(r,m)$-ペアにおける$|H[r]|$ の和に等しいことを示す。
• 行列作用の核の構造を用いて、最小のコセット構造を持つ全射を数える。群論的制約を活用する。
• 有効な構成の数が$|H|^{n-1}|H[r]| + o(|H|^n)$ のように増加することを示し、その誤差が部分群によって有界であることを示すことにより、モーメントの収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、ランダムな$r$-正則有向グラフの隣接行列のココアーナルの極限分布は何か？
• RQ2 ココアーナルの分布は、特に素数$p$ が$r$ を割る場合に、$r$ の算術的性質にどのように依存するか？
• RQ3 ココアーナル分布の収束を用いて、ランダムな$r$-正則隣接行列の漸近的非特異性を確立できるか？
• RQ4 $p$ が$r$ を割る場合に、$p$-群の側面でどのような新しい分布が有限アーベール群上に現れるか？
• RQ5 なぜ極限分布が$n$ そのものではなく、$n$ の$P$-部$n_{P}$ に依存するのか？また、これはモーメントにどのように影響するか？

主な発見

• $r \geq 3$ に対して、$r$ 個の独立した一様な$n \times n$置換行列の和のココアーナルは、$n \to \infty$ のとき、有限アーベール群上の極限測度に分布収束する。
• ココアーナルを$\prod_{p \in P} \mathbb{Z}_p$ とテンソル積したものが有限アーベール群$V$（$|V|$ が$P$ に属する素数のみで割り切れる）に同型である確率の極限は、$\frac{1}{|\operatorname{Aut}(V)|} \prod_{p \in P} \prod_{k \geq 1} (1 - p^{-k})$ に等しい。
• $p \mid r$ のとき、ココアーナル分布の$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-モーメントは$2p - 1$ であり、$r$ と$p$ が互いに素である場合に予想される$1$ よりも著しく大きい。
• ココアーナル分布のモーメントは$n_{P}$、すなわち$P$ に属する素数からなる$n$ の最大の因子に依存するため、$n_{P} = m$ に制限しない限り、$n \to \infty$ の極限は存在しない。
• $V = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ および$r = p$ の場合、$n_{p} = 1$ のとき$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$-モーメントは$p$ に近づくが、$p \mid n$ のときは$p^2$ に近づくため、非一様収束が示される。
• ココアーナル分布の収束は、隣接行列の漸近的非特異性を示し、固定された$r \geq 3$ に対して$p_n \to 0$ となるHuangの結果の別証明を提供する。