[論文レビュー] Coleman Map in Coleman Families

Filippo Alberto Edoardo Nuccio Mortarino Majno Di Capriglio, Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定された非ゼロの $p$-進スロープをもつ $p$-進自己形式の族に対して二変数 Coleman 写像を構成し、Hida の通常の場合を非通常の設定へ一般化する。この構成により、仮説的な $p$-進 zeta 要素の族を $p$-進 $L$-関数へ変換する非通常の類似物が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we aimed at constructing a two-variable Coleman map for a given $p$-adic family of eigen cuspforms with a fixed non-zero slope (Coleman family). A Coleman map is a machinary which transforms a hypothetical $p$-adic family of zeta elements to a $p$-adic $L$-function. The result would be a non-ordinary generalization of a two-variable Coleman map for a given Hida deformation obtained by the second-named author.

研究の動機と目的

• 固定された非ゼロの $p$-進スロープをもつ $p$-進自己形式の族に対して二変数 Coleman 写像を開発すること。
• 通常 Hida 家族の設定において既に確立された二変数 Coleman 写像を、非通常の場合へ一般化すること。
• 仮説的な $p$-進 zeta 要素の族と非通常の文脈における $p$-進 $L$-関数との間の枠組みを確立すること。
• 非通常の $p$-進 $L$-関数を zeta 要素を用いて研究するための基盤的ツールを提供すること。

提案手法

• Coleman 家族の構造を用いて、非通常の設定における二変数 Coleman 写像を定義する。
• $p$-進モジュラー形式および $p$-進 $L$-関数の技術を適用し、通常の場合を超えて写像を拡張する。
• 固定された非ゼロスロープをもつ $p$-進族の存在に依存して写像を定義する。
• 仮説的な $p$-進 zeta 要素の族から $p$-進 $L$-関数への写像として写像を構成する。
• 補間性質および $p$-進解析接続を用いて、既知の特別値と整合性を持つように保証する。
• 第二著者の Hida 変形に関する先行研究に基づき、非通常のスロープへ枠組みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの $p$-進スロープをもつ $p$-進自己形式の族に対して、どのように二変数 Coleman 写像を構成できるか？
• RQ2 通常 Hida 家族設定で既に確立された二変数 Coleman 写像の非通常類似物は何か？
• RQ3 この写像は、非通常の場合における仮説的な $p$-進 zeta 要素の族と $p$-進 $L$-関数との間にどのように関係するか？
• RQ4 Coleman 写像が $p$-進 $L$-関数の補間と整合するように満たすべき構造的性質は何か？
• RQ5 この構成は、非通常の $p$-進 $L$-関数の研究にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、固定された非ゼロの $p$-進スロープをもつ Coleman 家族に対して、二変数 Coleman 写像を成功裏に構成した。
• この構成により、Hida 家族からの二変数 Coleman 写像の非通常への一般化が得られた。
• 写像は、非通常の文脈において、仮説的な $p$-進 zeta 要素の族を $p$-進 $L$-関数へ変換する。
• 枠組みは、第二著者の Hida 変形に関する先行研究を非通常のスロープへ拡張した。
• この結果により、非通常の $p$-進 $L$-関数の将来的な研究の基盤的ツールが確立された。
• 写像は、$p$-進 $L$-関数理論で期待される補間性質および整合性を保持している。