[論文レビュー] Collapsing and Dirac-Type Operators

John Lott|ArXiv.org|May 1, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界直径および曲率を伴うリーマン多様体の崩壊における幾何的ディラク型作用素のスペクトル極限を研究する。スーパーコンネクションおよびG-多様体上の横断的楕円型作用素を用いて、ディラク作用素のスペクトルが極限空間上の1階微分作用素のスペクトルに収束することを示し、一様な固有値の上界を持たない多様体の特徴付けと、負にピンチされた有限体積多様体上の本質的スペクトルの公式を提供する。

ABSTRACT

We analyze the limit of the spectrum of a geometric Dirac-type operator under a collapse with bounded diameter and bounded sectional curvature. In the case of a smooth limit space B, we show that the limit of the spectrum is given by the spectrum of a certain first-order differential operator on B, which can be constructed using superconnections. In the case of a general limit space X, we express the limit operator in terms of a transversally elliptic operator on a G-space Y, with X = Y/G. As an application, we give a characterization of manifolds which do not admit uniform upper bounds, in terms of diameter and sectional curvature, on the k-th eigenvalue of the square of a Dirac-type operator. We also give a formula for the essential spectrum of a Dirac-type operator on a finite-volume manifold with pinched negative sectional curvature.

研究の動機と目的

• リーマン的崩壊に伴う有界直径および断面曲率を伴う多様体における幾何的ディラク型作用素のスペクトルの極限を分析すること。
• ディラク型作用素の平方のk番目の固有値に一様な上界が存在しない多様体を特徴付けること。
• ピンチされた負の曲率を持つ有限体積多様体上におけるディラク型作用素の本質的スペクトルの公式を導出すること。
• 先行研究におけるラプラシアンのスペクトル収束結果をスーパーコンネクション理論およびG-多様体技法を用いてディラク型作用素へと拡張すること。

提案手法

• 崩壊するファイバー上のスピン束の平行切断から導かれるスーパーコンネクションを用いて、極限空間B上に1階微分作用素$ D^B $を構成する。
• インフラニルファイバーを伴うリーマン的アフィンファイバー束の幾何を用いて、極限作用素$ D^B $を定義し、曲率項$ R^M, \nabla $および$ T $を組み込む。
• Gromオ・ハウスドルフ近似を用いて、滑らかな極限から一般の極限空間$ X $へのスペクトル収束を拡張する。ここでは$ X = \check{X}/G $を満たす$ G $-多様体$ \check{X} $を用いる。
• ファイバー上の安定化作用の性質を用いて、$ X $上の極限作用素を$ \check{X} $上の横断的楕円型作用素として表現する。
• 端領域からモデルファイバー束への有界エネルギー埋め込みによるセクションのスペクトル近似を用いて、本質的スペクトルを分析する。
• 行列のリゾルベント恒等式を用いて、全作用素とモデル作用素のリゾルベントの差がコンパクトであることを示し、本質的スペクトルの等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界直径および曲率を伴う多様体の崩壊下で、ディラク型作用素のスペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ2 Gromov-Hausdorff極限空間$ X $上での正確な極限作用素は何か？ そして幾何的にどのように構成できるか？
• RQ3 有限体積で負にピンチされた多様体上におけるディラク型作用素の本質的スペクトルは、明示的に計算可能か？
• RQ4 どのような条件下で、$ D^M $のスペクトルが極限空間$ B $上の$ D^B $に一様に収束するか？
• RQ5 $(D^M)^2$の固有値に一様な上界が存在しない障害は何か？ そしてそれは崩壊する多様体の幾何とどのように関係しているか？

主な発見

• Gromov-Hausdorff距離$ d_{GH}(M,B) $が小さく、曲率が有界であれば、$ D^M $のスペクトルは$ B $上の$ D^B $のスペクトルと$ \epsilon $-近傍にある。
• 滑らかな極限空間の場合、極限作用素$ D^B $はスーパーコンネクションを用いて構成される1階微分作用素であり、$ \Pi $および$ T $に依存する追加の零次項を有する。
• 一般の極限空間$ X $の場合、極限作用素は$ X = \check{X}/G $を満たす$ G $-多様体$ \check{X} $上の横断的楕円型作用素として実現される。
• 本稿では、端領域の解析から得られる公式を用いて、ピンチされた負の曲率を持つ有限体積多様体上における$ D^M $の本質的スペクトルの公式を提示する。
• 特徴付けとして、$ (D^M)^2 $のk番目の固有値に一様な上界が存在しない多様体は、ファイバーの安定化群$ H $が$ V^H = 0 $を満たすものであると示される。
• 本質的スペクトルは、リゾルベントの差がコンパクトであることを示すことにより、モデル作用素$ D^M_{\text{end}} $の本質的スペクトルと等しいことが証明される。