[論文レビュー] Collapsing of Calabi-Yau manifolds and special lagrangian submanifolds

Yuguang Zhang|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Gromov-Hausdorff収束の意味でリッチ平坦なカラビ-Yau多様体の崩壊と特別ラグランジュ部分多様体の存在との間の双方向的関係を確立する。特に対象となるホモロジー類を表す特別ラグランジュ部分多様体の体積が一様に小さい領域では崩壊が生じることを証明し、逆にカラビ-Yau多様体の十分に崩壊した領域には特別ラグランジュファイブレーションが存在することを示し、修正されたSYZ予想に対する幾何的証拠を提供する。

ABSTRACT

In this paper, the relationship between the existence of special lagrangian submanifolds and the collapsing of Calabi-Yau manifolds is studied. First, special lagrangian fibrations are constructed on some regions of bounded curvature and sufficiently collapsed in Ricci-flat Calabi-Yau manifolds. Then, in the opposite direction,it is shown that the existence of special lagrangian submanifolds with small volume implies the collapsing of some regions in the ambient Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• 特別ラグランジュ部分多様体とリッチ平坦カラビ-Yau多様体の崩壊との幾何的関係を調査すること。
• 特別ラグランジュファイブレーションの存在を測度的崩壊と結びつけることで、修正されたSYZ予想に証拠を提供すること。
• 特別ラグランジュ体積が小さくなるときに崩壊を示す定量的体積推定を確立すること。
• Gromov-Hausdorff収束とリッチ平坦幾何を用いて、K3表面からの結果を一般のカラビ-Yau多様体へ拡張すること。

提案手法

• リッチ平坦カラビ-Yau多様体の系列のGromov-Hausdorff収束を用いて、崩壊下での極限空間を分析する。
• 点付きGromovコンパクトネス定理を適用し、点付き多様体の収束部分列を抽出する。
• Bishop-Gromov体積比較定理を用いて、注入半径と体積成長の均一な下界を導出する。
• キャリブレーション幾何の応用：体積を ∫_A Θ により有界化するため、補助形式 Θ を適用する。
• 有界曲率をもつ多様体における体積比較定理（定理2.6）を適用し、体積が小さすぎる場合に矛盾を導く。
• コンact部分集合上で、引き戻し計量 F_k,D^*g_k → g_∞ の滑らかな収束を用いて、極限における局所幾何を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に小さい体積を持つ特別ラグランジュ部分多様体が存在する場合、カラビ-Yau多様体で測度的崩壊が生じるか？
• RQ2 リッチ平坦カラビ-Yau多様体の十分に崩壊した領域に特別ラグランジュファイブレーションを構成できるか？
• RQ3 キャリブレーションされた部分多様体の体積が、周囲空間の幾何にどの程度支配的か？
• RQ4 修正されたSYZ予想は、体積と曲率の制約を通じてどのように幾何的に現れるか？

主な発見

• 固定ホモロジー類 A を表す特別ラグランジュ部分多様体 A に対して ∫_A Θ < δ が十分小さい δ で成り立つならば、周囲多様体の単位球の体積は ε で有界となり、崩壊が生じることを示す。
• 系列における ∫_A Θ_k → 0 が成り立つ場合、単位球 B_g_k(p_k,1) の体積は 0 に近づき、Gromov-Hausdorff 意味での崩壊が生じることを示す。
• 極限空間 (Y,d_Y) は Hausdorff 次元 m をもち、特異点集合 S_Y の次元は m−1 より小さいが、正則部はリッチ平坦かつ滑らかである。
• ファイブレーションのファイバー体積が小さくなると、体積比較による背理法により、周囲多様体が崩壊することを示した。
• これらの結果は、Ricci平坦なエインシュタイン構造をもつため、G_2 および Spin(7) 多様体へも拡張可能である。
• 証明により、極限における注入半径に一様な下界が得られ、k が十分に大きいとき、キャリブレーションされた部分多様体の体積が小さくなることに矛盾する。