[論文レビュー] Collapsing Superstring Conjecture

Alexander Golovnev, Alexander S. Kulikov+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 32被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、最短共通スーパー文字列（SCS）問題のための新しいグラフ理論的枠組みを導入し、Collapse Superstring 猜測と Greedy Hierarchical 猜測を提唱する。任意のSCS解から導出される階層的グラフにおいて、反復的に辺を縮約することで同じグラフGが得られることを示し、このプロセスが貪欲アルゴリズムによって達成可能であることを示す。主な貢献は、これらの2つの猜測の同等性を証明し、長さ≤3の文字列について検証することで、SCSに対する素朴な2近似解法の可能性を示している。

ABSTRACT

In the Shortest Common Superstring (SCS) problem, one is given a collection of strings, and needs to find a shortest string containing each of them as a substring. SCS admits $2\frac{11}{23}$-approximation in polynomial time (Mucha, SODA'13). While this algorithm and its analysis are technically involved, the 30 years old Greedy Conjecture claims that the trivial and efficient Greedy Algorithm gives a 2-approximation for SCS. We develop a graph-theoretic framework for studying approximation algorithms for SCS. The framework is reminiscent of the classical 2-approximation for Traveling Salesman: take two copies of an optimal solution, apply a trivial edge-collapsing procedure, and get an approximate solution. In this framework, we observe two surprising properties of SCS solutions, and we conjecture that they hold for all input instances. The first conjecture, that we call Collapsing Superstring conjecture, claims that there is an elementary way to transform any solution repeated twice into the same graph $G$. This conjecture would give an elementary 2-approximate algorithm for SCS. The second conjecture claims that not only the resulting graph $G$ is the same for all solutions, but that $G$ can be computed by an elementary greedy procedure called Greedy Hierarchical Algorithm. While the second conjecture clearly implies the first one, perhaps surprisingly we prove their equivalence. We support these equivalent conjectures by giving a proof for the special case where all input strings have length at most 3. We prove that the standard Greedy Conjecture implies Greedy Hierarchical Conjecture, while the latter is sufficient for an efficient greedy 2-approximate approximation of SCS. Except for its (conjectured) good approximation ratio, the Greedy Hierarchical Algorithm provably finds a 3.5-approximation.

研究の動機と目的

• SCS近似アルゴリズムを分析するための本質的な文字列性質を捉える組合せ的枠組みの構築を目的とする。
• すべてのSCS解が二重化され、縮約されると、Collapsing Superstring 猜測で形式化されたように、同じ普遍的グラフGが得られるかどうかを調査すること。
• Greedy Hierarchical アルゴリズム—特定の順序でエッジの縮約を実行する貪欲な手続きに基づく—が、Greedy Hierarchical 猜測で述べられるように、常にこの普遍的グラフGを生成できるかどうかを検討すること。
• 2つの猜測の同等性を証明し、特殊ケースにおけるその妥当性を裏付けること。
• 数百万件のSCSインスタンスに対して両猜測を実験的にテストし、2近似アルゴリズムへの可能性を支援すること。

提案手法

• ノードが部分文字列を表し、エッジがオーバーラップを表す階層的グラフをSCSインスタンスから構築する。レベルは文字列の深さと構造を符号化する。
• 共有の接頭辞と接尾辞に基づいて隣接するエッジを統合する縮約手順（CA）を定義し、文字列の統合効果をシミュレートする。
• 特定の順序でノードを処理する貪欲な手法であるGreedy Hierarchical アルゴリズム（GHA）を導入し、同じ縮約グラフGを構築する。
• Collapsing Superstring 猜測とGreedy Hierarchical 猜測が論理的に同等であることを証明する。
• 長さが3以下の文字列の特殊ケースについて、両猜測を検証する。この場合、Greedy 猜測は既に成立することが知られている。
• 数百万件のSCSインスタンスに対して両猜測をテストし、実験的根拠を収集する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Collapsing Superstring 猜測が主張するように、すべてのSCS解が二重化され、エッジ統合によって同じ普遍的グラフGに縮約されるか？
• RQ2 Greedy Hierarchical 猜測が述べるように、貪欲なエッジ縮約戦略を用いるGreedy Hierarchical アルゴリズムは、常にこの普遍的グラフGを生成できるか？
• RQ3 Collapsing Superstring 猜測とGreedy Hierarchical 猜測は同等であるか。すなわち、片方を証明すればもう片方も示されるか？
• RQ4 猜測が成り立つものと仮定した場合、Greedy Hierarchical アルゴリズムはSCSに対して2近似を達成できるか？
• RQ5 任意の解に任意のサイクルカバーを加えた場合、常に同じグラフGに縮約される、より強い形のCollapse 猜測に拡張可能か？

主な発見

• Collapsing Superstring 猜測とGreedy Hierarchical 猜測は論理的に同等であることが証明され、片方を証明すればもう片方も示される。
• すべての入力文字列の長さが3以下であるケースについて、両猜測が成り立つことが検証された。この場合、Greedy 猜測は以前から成立することが知られていた。
• Greedy Hierarchical アルゴリズムは、SCSに対して3.5近似を正当に達成でき、スペクトルを形成する文字列やすべての文字列の長さが≤2である特殊ケースでは正確な解を求める。
• 数百万件のSCSインスタンスに対する実験的テストでは、両猜測の反例は見つからず、その妥当性を支持する。
• 任意の解に任意のサイクルカバーを加えた場合、常に同じグラフGに縮約されるというより強い形のCollapse 猜測についてもテストしたが、反例は見つからなかった。
• 階層的グラフフレームワークは、SCS近似アルゴリズムを統一的に分析する方法を提供し、SCSに対して(2−ε)n時間で動作する正確なアルゴリズムの実現を可能にする可能性を秘めている。