[論文レビュー] Collisions of particles in locally AdS spacetimes

Thierry Barbot, Francesco Bonsante+1 more|ArXiv.org|May 12, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、時空的曲線に沿ったコーン特異点としての質量を持つ粒子を含む3次元で全的に双曲的でないアインシュタイン・ド・ジッター（AdS）時空を調査する。各時空に対して、相互作用のグラフとコーン特異点をもつ双曲的平面のペアを関連付けることで、メスの結果を滑らかなGHMC AdS多様体に拡張した、特異点を伴う粒子衝突の場合へのホロノミー・データによる局所パラメータ化を確立する。

ABSTRACT

We investigate 3-dimensional globally hyperbolic AdS manifolds containing "particles", i.e., cone singularities along a graph $Γ$. We impose physically relevant conditions on the cone singularities, e.g. positivity of mass (angle less than $2π$ on time-like singular segments). We construct examples of such manifolds, describe the cone singularities that can arise and the way they can interact (the local geometry near the vertices of $Γ$). The local geometry near an "interaction point" (a vertex of the singular locus) has a simple geometric description in terms of polyhedra in the extension of hyperbolic 3-space by the de Sitter space. We then concentrate on spaces containing only (interacting) massive particles. To each such space we associate a graph and a finite family of pairs of hyperbolic surfaces with cone singularities. We show that this data is sufficient to recover the space locally (i.e., in the neighborhood of a fixed metric). This is a partial extension of a result of Mess for non-singular globally hyperbolic AdS manifolds.

研究の動機と目的

• 滑らかなGHMC AdS多様体のメスのパラメータ化を、粒子がコーン特異点として存在する時空へと拡張すること。
• 特異線が交わる相互作用点の近傍における局所幾何を、双曲的空間とデ・ジッター空間を含む幾何的モデルを用いて分類すること。
• 局所的に定義されたGHMC AdS時空（粒子を含む）と幾何的データ（相互作用のグラフとコーン特異点をもつ双曲的平面のペア）との間の一対一対応を確立すること。
• ホロノミーの小さな摂動に対する、このような時空の局所的一意性と変形剛性を証明すること。
• 左・右の平坦接続に基づくステレオ図法を用いて、衝突する粒子をもつ時空の完全な局所的記述を提供すること。

提案手法

• 粒子特異点を、$2\pi$未満のコーン角をもつ時空的曲線に沿ったコーン特異点としてモデル化し、正の質量と因果的整合性を保証する。
• 特異点のリンクを用いて、拡張空間 $\mathrm{HS}^3$ 内の凸多面体による局所幾何を記述し、双曲的幾何とデ・ジッター幾何を統合する。
• 特異線の相互作用頂点を記録するグラフを構成し、各頂点に $\mathrm{HS}^3$ 内の凸多面体を関連付ける。
• 左・右の平坦接続を通じて、時空のホロノミーとコーン特異点をもつ双曲的平面のホロノミーを関連付ける。
• 空間的スライスに横断的ベクトル場を持つインダクティブな議論を用いて、局所的時空の断片を接合し、グローバル整合性を保証する。
• 埋め込み定理と最大拡張の一意性を用いて、小さなホロノミー摂動が一意的に時空の摂動に引き上げられることを示し、局所的剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の特異線が交わる頂点の近傍における局所幾何は、拡張された双曲的空間内の多面体構造としてどのように記述できるか？
• RQ2 質量を持つ粒子をもつGHMC AdS時空は、相互作用のグラフとコーン特異点をもつ双曲的平面のペアから、どの程度再構成可能か？
• RQ3 コーン角と因果的構造にどのような条件を課すと、粒子特異点をもつ全的に双曲的で最大の時空が存在するか？
• RQ4 粒子衝突はホロノミー・データにどのように影響を与え、このデータは局所的に時空を一意に特定できるか？
• RQ5 衝突する粒子をもつ時空のステレオ図法を用いることで、このような時空を局所的にパラメータ化できるか？

主な発見

• 質量を持つ粒子の相互作用点の近傍における局所幾何は、双曲的幾何とデ・ジッター幾何を統合する拡張空間 $\mathrm{HS}^3$ 内の凸多面体によって記述される。
• 各GHMC AdS時空（粒子を含む）は、一意な相互作用のグラフと、コーン特異点をもつ双曲的平面の有限個のペアに対応する。
• 時空のホロノミー・データは局所的に幾何を決定し、小さなホロノミー摂動は一意的に時空の摂動に引き上げられる。
• 空間的スライスに横断的ベクトル場を持つインダクティブな接合を用いたことで、粒子をもつ最大で全的に双曲的な拡張の存在と一意性が確立された。
• ステレオ図法により、このような時空の完全な局所的記述が得られ、メスのパラメータ化が特異点を含む場合に一般化された。
• 局所的剛性が成立する：任意のホロノミーの小さな摂動に対して、その摂動を実現する一意な時空が近傍に存在する。