[論文レビュー] Colored discrete spaces: higher dimensional combinatorial maps and quantum gravity

Luca Lionni|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 123被引用数 48

ひとこと要約

本学位論文は、局所的曲率情報を保持する彩色付き離散空間と彩色付き組合せ的マップの間の全単写像を導入し、高次元量子重力モデルの体系的な解析的研究を可能にする。主な貢献は、離散アインシュタイン＝ヒルベルト作用を部分トレース付きの確率的行列モデルに再定式化するフレームワークを提供することであり、これによりテンソルモデルと関連づけられ、彩色SYKモデルにおける$1/N$展開を用いた一般化されたユニセルラルマップの列挙が可能になる。

ABSTRACT

In any dimension $D$, the Euclidean Einstein-Hilbert action, which describes gravity in the absence of matter, can be discretized over random discrete spaces obtained by gluing families of polytopes together in all possible ways. In the physical limit of small Newton constant, only the spaces which maximize the mean curvature survive. In two dimensions, this results in a theory of random discrete spheres, which converge in the continuum limit towards the Brownian sphere, a random fractal space interpreted as a quantum random space-time. In this limit, the continuous Liouville theory of $D=2$ quantum gravity is recovered. Previous results in higher dimension regarded triangulations - gluings of tetrahedra or $D$-dimensional generalizations, leading to the continuum random tree, or gluings of simple colored building blocks of small sizes, for which multi-trace matrix model results are recovered. This work aims at providing combinatorial tools which would allow a systematic study of richer building blocks and of the spaces they generate in the continuum. We develop a bijection with stacked two-dimensional discrete surfaces, and detail how it can be used to classify discrete spaces according to their mean curvature and topology. A number of blocks are analyzed, including the new infinite family of bi-pyramids, as well as toroidal and $D$-dimensional generalizations. The relation to random tensor models is detailed. A central concern is the lowest bound on the number of ($D-2$)-cells for any given blocks, or equivalently the right scaling for the associated tensor model to have a well-behaved $1/N$ expansion. We also apply our bijection to the identification of the graphs contributing at any order to the $2n$-point functions of the colored SYK model, and to the enumeration of generalized unicellular maps - spaces obtained from a single building block - according to their mean curvature.

研究の動機と目的

• 2次元確率的三角形分割の直接的な高次元一般化が、妥当な量子時空を生成しないという問題に対処すること。
• 次元$D \geq 3$における彩色付き構成要素を体系的に分析するための組合せ的ツールを開発すること。
• ランダムテンソルモデルにおける正しいスケーリングを特定するため、構成要素に必要な最小の$(D-2)$-セル数を同定すること。
• 離散アインシュタイン＝ヒルベルト理論と部分トレース付き確率的行列モデルとの間の関係を確立すること。
• 彩色SYKモデルの$1/N$展開を用いて、平均曲率に応じた一般化されたユニセルラルマップの列挙を可能にすること。

提案手法

• 離散空間における$(D-1)$-セルの彩色を導入し、高次元の組合せ的構造の解析的取り扱いを可能にする。
• 局所的曲率データを保持する彩色付き離散空間と彩色付き組合せ的マップの間の全単写像を導出する。
• 全単写像を用いて、離散アインシュタイン＝ヒルベルト作用を部分トレース付きの確率的行列モデルに写像し、これを中間場表現と呼ぶ。
• フレームワークを用いて小規模な構成要素を分析し、新たな無限族の彩色付き構成要素を構築する。
• 組合せ的マップ理論の結果を活用して、平均曲率および$1/N$展開の次数に応じて一般化されたユニセルラルマップを列挙する。
• 0スコア$\Phi_0(G)$を用いて$1/N$展開次数の上限を確立し、バブル依存寄与項に対して非負の有理数次数が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元三角形分割を一般化する高次元離散空間に対して、体系的な解析的アプローチを開発できるか？
• RQ2 ランダムテンソルモデルにおける正しいスケーリングを保証するため、構成要素に必要な最小の$(D-2)$-セル数は何か？
• RQ3 組合せ的マップを用いて、彩色SYKモデルの$1/N$展開を体系的に列挙できるか？
• RQ4 バブル数に非線形的に依存する0スコアが原因で$1/N$展開が適切に定義されない条件は何か？
• RQ5 彩色付き離散空間と組合せ的マップの間の全単写像を用いて、離散重力理論に対する一貫した中間場表現を導出できるか？

主な発見

• 彩色付き離散空間と彩色付き組合せ的マップの間の全単写像が確立され、局所的曲率情報を保持し、解析的解析を可能にする。
• 任意の彩色付き構成要素に対して、離散アインシュタイン＝ヒルベルト作用は中間場表現を用いて部分トレース付きの確率的行列モデルに再定式化可能である。
• $K_4$非可定向バブルの場合、最大マップの0スコアは$\Phi_0(G) = 6 + 6 \times b(G)$であり、$b(G)$が偶数のとき$a'_{G_k} = 6$となるが、奇数の場合は非線形挙動が生じる可能性がある。
• バブル数に非線形的かつ厳密に増加する0スコア関数$f(b)$が存在すれば、有理数次数の$1/N$展開が得られるが、このような挙動はまれである。
• 最大マップが非線形な0スコア$\Phi_0(G_{\text{max}}) = D + f(b(G_{\text{max}}))$を示し、$f(x) \leq 22$である場合、新たな次数定義$\delta(G) = D + f(b(G)) - \Phi_0(G)$により、有理数次数の$1/N$展開が得られる。
• 0スコアが非線形に増加し、勾配が理論的上限$a'_{\text{max}} = 22$を超える場合、大$N$極限で発散寄与が生じるため、適切な$1/N$展開は定義できない。