[論文レビュー] Colored stochastic dominance problems

Jie Xue, Yuan Li|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

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ひとこと要約

本稿では、色別に存在確率を持つℝᵈ内の確率的点の集合について、実現における色間優位性を分析する「色付き確率的優位性（CSD）」問題を導入する。d=2の場合にはO(n² log²n)時間のアルゴリズムを提示し、d≥3では#P困難であることを証明する。また、近似のためのFPRASを提供し、還元を用いて自由基底優位性への拡張も行う。

ABSTRACT

In this paper, we study the dominance relation under a stochastic setting. Let $\mathcal{S}$ be a set of $n$ colored stochastic points in $\mathbb{R}^d$, each of which is associated with an existence probability. We investigate the problem of computing the probability that a realization of $\mathcal{S}$ contains inter-color dominances, which we call the extit{colored stochastic dominance} (CSD) problem. We propose the first algorithm to solve the CSD problem for $d=2$ in $O(n^2 \log^2 n)$ time. On the other hand, we prove that, for $d \geq 3$, even the CSD problem with a restricted color pattern is \#P-hard. In addition, even if the existence probabilities are restricted to be $\frac{1}{2}$, the problem remains \#P-hard for $d \geq 7$. A simple FPRAS is then provided to approximate the desired probability in any dimension. We also study a variant of the CSD problem in which the dominance relation is considered with respect to not only the standard basis but any orthogonal basis of $\mathbb{R}^d$. Specifically, this variant, which we call the {\em free-basis colored stochastic dominance} (FBCSD) problem, considers the probability that a realization of $\mathcal{S}$ contains inter-color dominances with respect to any orthogonal basis of $\mathbb{R}^d$. We show that the CSD problem is polynomial-time reducible to the FBCSD problem in the same dimension, which proves the \#P-hardness of the latter for $d \geq 3$. Conversely, we reduce the FBCSD problem in $\mathbb{R}^2$ to the CSD problem in $\mathbb{R}^2$, by which an $O(n^4 \log^2 n)$ time algorithm for the former is obtained.

研究の動機と目的

• 色別に存在確率を持つ確率的点の集合における色間優位性が確率的であるという、色付き確率的優位性（CSD）問題を形式化し、これを解くこと。
• さまざまな次元におけるCSD問題の計算複雑性を特定すること、特にd≥3における困難性を特定すること。
• ℝᵈにおける任意の直交基底上で優位性が評価される自由基底色付き確率的優位性（FBCSD）問題へ枠組みを拡張すること。
• 低次元の場合には効率的なアルゴリズムを提供し、高次元の場合には近似スキームを提供すること。

提案手法

• 平面スイープと直交範囲検索を用いた分割統治的手法を提案し、ℝ²における優位性確率をO(n² log²n)時間で計算する。
• CSD問題を同じ次元におけるFBCSD問題に還元し、d≥3におけるFBCSDの#P困難性をこの還元により証明する。
• ℝ²におけるFBCSDからCSDへの逆還元を適用し、2次元におけるFBCSD問題に対してO(n⁴ log²n)時間のアルゴリズムを実現する。
• 任意の次元dにおける優位性確率の近似を保証する完全多項式確率的近似スキーム（FPRAS）を構築する。
• 独立な存在確率に基づく点の実現の確率的解析を用いて、優位性イベントをモデル化する。
• 自由基底バージョンの処理に、優位性領域の構築や直交基底変換といった幾何的手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 色別に存在確率を持つ確率的点集合における色間優位性の確率を計算する際の計算複雑性は何か？
• RQ2 2次元空間におけるCSD問題に対して、効率的な正確なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 3次元以上において、CSD問題は#P困難であるか？特に、すべての存在確率が1/2に固定された場合でも同様か？
• RQ4 FBCSD問題は標準的なCSD問題に還元可能か？その複雑性とアルゴリズム設計への影響は何か？
• RQ5 正確な計算が非効率な場合に、優位性確率を推定するための近似技法は何か？

主な発見

• ℝ²におけるCSD問題は、優位性領域の分解に基づく幾何的アルゴリズムを用いて、O(n² log²n)時間で正確に解ける。
• d≥3におけるCSD問題は#P困難である。すべての存在確率が1/2に固定された場合でも、強い計算困難性が示された。
• FBCSD問題もd≥3において#P困難である。同じ次元におけるCSD問題への多項式時間還元が可能であるため。
• 任意の次元dにおける優位性確率を、保証された誤差範囲と多項式実行時間で近似するFPRASが提供された。
• ℝ²におけるFBCSD問題は、CSD問題への還元により、O(n⁴ log²n)時間で解ける。
• ℝ²におけるCSDとFBCSDの間の還元は、2次元における計算複雑性が同等であることを示し、アルゴリズムの相互移動が可能であることを示した。