[論文レビュー] Coloring dense graphs via VC-dimension

Tomasz Łuczak, Stéphan Thomassé|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、密なグラフにおける彩色数の上限を分析するために、下部のグラフ構造を持つハイパーグラフのためのVC次元の新しい一般化であるペアドVC次元を導入する。三角形を含まない最小次数 > n/3 のグラフは彩色数が有界であることを短い証明で示し、H-自由グラフの彩色閾値は 0 または 1/3 以上であり、それ以外の値は取り得ないことを示す。

ABSTRACT

The Vapnik-Červonenkis dimension is a complexity measure of set-systems, or hypergraphs. Its application to graphs is usually done by considering the sets of neighborhoods of the vertices (cf. Alon et al. (2006) and Chepoi, Estellon, and Vaxes (2007)), hence providing a set-system. But the graph structure is lost in the process. The aim of this paper is to introduce the notion of paired VC-dimension, a generalization of VC-dimension to set-systems endowed with a graph structure, hence a collection of pairs of subsets. The classical VC-theory is generally used in combinatorics to bound the transversality of a hypergraph in terms of its fractional transversality and its VC-dimension. Similarly, we bound the chromatic number in terms of fractional transversality and paired VC-dimension. This approach turns out to be very useful for a class of problems raised by Erdős and Simonovits (1973) asking for H-free graphs with minimum degree at least cn and arbitrarily high chromatic number, where H is a fixed graph and c a positive constant. We show how the usual VC-dimension gives a short proof of the fact that triangle-free graphs with minimum degree at least n/3 have bounded chromatic number, where $n$ is the number of vertices. Using paired VC-dimension, we prove that if the chromatic number of $H$-free graphs with minimum degree at least cn is unbounded for some positive c, then it is unbounded for all c<1/3. In other words, one can find H-free graphs with unbounded chromatic number and minimum degree arbitrarily close to n/3. These H-free graphs are derived from a construction of Hajnal. The large chromatic number follows from the Borsuk-Ulam Theorem.

研究の動機と目的

• 最小次数が高いH-自由グラフにおける彩色数の上限に関するErdős–Simonovitsの問題に取り組む。
• グラフ構造を保ちながら、密なグラフにおける彩色数を分析するための新しい枠組みを、ペアドVC次元を用いて構築する。
• H-自由グラフが彩色閾値 0（つまり、任意の c > 0 に対して最小次数が cn を超えると彩色数が有界になる）となるようなグラフ H を同定する。
• H-自由グラフの彩色閾値が 0 と 1/3 の間の値をとることは不可能であり、鋭い段階的転移が成立することを証明する。
• トーマッセの結果（五角形を含まないグラフは彩色閾値 0 を持つ）を、ペアドVC次元を用いた新しい位相的証明により再確認し、非二部グラフの広いクラスに拡張する。

提案手法

• ペアドVC次元を、下部のグラフ構造を持つハイパーグラフのための古典的VC次元の一般化として導入し、部分集合のペアを捉える。
• 古典的VC理論を用いて、最小次数 > n/3 の三角形を含まないグラフにおける彩色数を評価し、彩色数が有界であることを短い証明で示す。
• 頂点近傍からのグラフ構造を、頂点集合のk要素部分集合上のハイパーグラフに持ち上げることで、組合せ的構造を保存する。
• Borsuk–Ulam定理を用いて、彩色数が高く、最小次数が n/3 に非常に近い密なグラフを構成し、極値例として用いる。
• 球面上の位相的構成（Borsuk–Hajnalグラフ）を用いて、高彩色数を実現し、その最小次数特性を分析する。
• ホモモーフィズムおよびgirth低減技術（Hell–Nešetřilの構成を用いて）を適用し、高彩色数、高girth、局所的にほぼ二部グラフの近傍を持つグラフを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-自由グラフの彩色閾値は何か？ また、Hの構造的性質を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 ペアドVC次元を用いて、密なH-自由グラフにおける彩色数の鋭い上限を確立できるか？
• RQ3 H-自由グラフの彩色閾値が 0 と 1/3 の間の任意の値をとることは可能か？
• RQ4 局所的に二部グラフであるグラフの彩色閾値は、予想されているように 1/2 になり得るか？
• RQ5 位相的構成（例：Borsukグラフ）は、高彩色数と高最小次数を同時に達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 最小次数が n/3 より大きい三角形を含まないグラフの彩色数は有界であり、古典的VC次元を用いた再証明により、n/3 から定数を引いた最小次数に対しても有効な境界が得られる。
• H-自由グラフの彩色閾値は 0 または 1/3 以上であり、それ以外の値は取り得ない。これにより、鋭い閾値ギャップが確立される。
• 任意の c < 1/3 に対して、最小次数が少なくとも cn で彩色数が無限大であるH-自由グラフが存在するため、閾値は 1/3 でタイトであることが示される。
• H-自由グラフのクラスが彩色閾値 0 を持つための必要十分条件は、Hが準環的グラフであることであると、予想通りに証明され、Borsuk–Hajnalグラフを用いた構成による証拠が得られる。
• 五角形を含まないグラフが彩色閾値 0 を持つというトーマッセの結果に対して、ペアドVC次元を用いた新しい証明が与えられ、非二部グラフの広いクラスに拡張される。
• 最小次数が n/2 に限りなく近いが彩色数が無限大である局所的に二部グラフであるグラフの構成により、このようなグラフの彩色閾値が 1/2 であるという予想が支持される。