[論文レビュー] Coloring distance graphs: a few answers and many questions

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非ユークリッド空間における距離グラフの彩色数を調査し、平面の平行移動不変距離関数および双曲平面に焦点を当てる。平面距離空間における彩色数の可能な値の集合が自然数と ℵ₀ に丁度一致することを証明することで未解決の問題を解決し、さまざまな距離における双曲平面の彩色数に上限を設定する。その結果、距離に対する対数的依存性が明らかになり、漸近的挙動や有限部分グラフの普遍性に関する新たな問題が提起される。

ABSTRACT

Given a metric space and a set of distances, one constructs the associated distance graph by taking as vertices the points of the space and as edges the pairs whose distance is in the given set. It is a longstanding open question to determine the chromatic number of the graph obtained from the Euclidean plane and a set reduced to one distance. Surprisingly, while many variants of this problem have been studied, only a few non-Euclidean spaces seem to have been seriously considered. In this paper, we consider the planar translation-invariant metrics and the hyperbolic plane. We answer questions of Johnson and Szlam, prove a few other results, and ask many questions.

研究の動機と目的

• 平面の平行移動不変距離関数に定義された距離グラフの、すべての可能な彩色数の集合を特定すること。
• 固定された距離 d に対する双曲平面の彩色数を分析し、特に d に依存する性質を調べること。
• ジョンソンとスラムが非ユークリッド設定において提起した未解決の問題を解決すること。
• 距離 d が増加する際の双曲平面における彩色数の漸近的挙動を調査すること。
• 十分に大きな d に対して、特定の有限グラフ H が、双曲距離グラフ G(ℍ², {d}) のすべての r 色分けにおいて単色部分グラフとして現れるかどうかを調査すること。

提案手法

• 変換 ρ ↦ ρ/(1+ρ) および ρ ↦ min(ρ, r) を用いて、彩色数を制御可能な平面の平行移動不変距離関数の族を構成する。
• 双曲平面におけるタイル張りとチェッカーボードパターンに基づく色分け戦略を用い、彩色数の上限を求める。
• 双曲距離の成長（e^r）に基づく幾何的推定を適用し、異なるタイル内に同じ色の点が距離 d よりも離れていることを保証する。
• 選択公理の下で、無限大の色分け問題を有限部分グラフの彩色可能性に還元するために、デ・ブルイーン＝エルデシュの定理を用いる。
• 半径方向距離が指数関数的に増加するモデルを用いて双曲平面を分析し、タイルの直径とタイル間距離を制御可能にする。
• 小距離 d に対して (d/2, d/2)-チェッカーボードタイル張りを導入し、彩色数の上界として 12 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面の平行移動不変距離関数に定義された距離グラフの、すべての可能な彩色数の集合は何か？
• RQ2 双曲平面の彩色数は距離 d に対して線形に増加するか？
• RQ3 カーレが示唆したように、双曲平面の彩色数は d に依存せずに有界であるか？
• RQ4 どの有限グラフ H に対して、十分に大きな d に対して、G(ℍ², {d}) のすべての r 色分けにおいて H が単色部分グラフとして現れるか？
• RQ5 d → 0 のとき、双曲平面の彩色数は、ユークリッド平面の彩色数に収束するか？

主な発見

• 平面の平行移動不変距離関数に定義された距離グラフの、すべての可能な彩色数の集合は、ちょうど ℕ ∪ {ℵ₀} に一致し、ジョンソンとスラムの問いに答えを提示した。
• すべての d ≤ 2 ln(3/2) ≈ 0.81 に対して、距離 d を持つ双曲平面の彩色数は 12 以下である。
• 大規模な d に対して、双曲平面の彩色数は少なくとも d / ln 3 の速度で増加し、d のオーダーの下限が確立された。
• d → ∞ のとき、双曲平面の彩色数は無限大に発散するため、2 頂点と1本の辺からなるグラフですら、十分に大きな d に対してすべての r 色分けにおいて単色部分グラフとして現れる。
• 距離区間 [d, d(1+ε)] を持つ双曲平面の彩色数は、少なくとも e^{εd} の速度で増加するため、大きなクリークが存在することが示唆された。
• 本稿では、双曲平面の彩色数が d に関して非減少であるかどうか、および小規模な d に対して彩色数がユークリッドの彩色数と一致するかどうかは未解決のまま残されている。