[論文レビュー] Coloured stochastic vertex models and their spectral theory

Alexei Borodin, Michael Wheeler|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Random Matrices and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、sln+1 に関連する彩色付き確率的頂点モデルを導入し、特定の境界条件の下での格子模型の分配関数として転送行列の固有関数を構成する。直交性、プランシュレル型公式、組合せ的恒等式を確立し、彩色された高さ関数の分布が色を無視した sl2 モデルのそれと一致することを示すキーマッチング結果を証明することで、後者に関する既知の結果を用いて漸近的極限定理を導く。

ABSTRACT

This work is dedicated to $\mathfrak{sl}_{n+1}$-related integrable stochastic vertex models; we call such models coloured. We prove several results about these models, which include the following: (1) We construct the basis of (rational) eigenfunctions of the coloured transfer-matrices as partition functions of our lattice models with certain boundary conditions. Similarly, we construct a dual basis and prove the corresponding orthogonality relations and Plancherel formulae; (2) We derive a variety of combinatorial properties of those eigenfunctions, such as branching rules, exchange relations under Hecke divided-difference operators, (skew) Cauchy identities of different types, and monomial expansions; (3) We show that our eigenfunctions are certain (non-obvious) reductions of the nested Bethe Ansatz eigenfunctions; (4) For models in a quadrant with domain-wall (or half-Bernoulli) boundary conditions, we prove a matching relation that identifies the distribution of the coloured height function at a point with the distribution of the height function along a line in an associated colour-blind ($\mathfrak{sl}_2$-related) stochastic vertex model. Thanks to a variety of known results about asymptotics of height functions of the colour-blind models, this implies a similar variety of limit theorems for the coloured height function of our models; (5) We demonstrate how the coloured-uncoloured match degenerates to the coloured (or multi-species) versions of the ASEP, $q$-PushTASEP, and the $q$-boson model; (6) We show how our eigenfunctions relate to non-symmetric Cherednik-Macdonald theory, and we make use of this connection to prove a probabilistic matching result by applying Cherednik-Dunkl operators to the corresponding non-symmetric Cauchy identity.

研究の動機と目的

• sl2 モデルに関する既知の結果を一般化し、sln+1 に関連する彩色付き確率的頂点モデルのスペクトル理論を構築すること。
• 特定の境界条件の下で、転送行列の固有関数を格子模型の分配関数として構成し、双対基底を定義すること。
• 直交性関係、プランシュレル同型、およびスケーブ・カウチ恒等式や単項式展開などの組合せ的恒等式を確立すること。
• 固有関数がネストされたベーテ・アンザッツ固有関数の非自明な還元として得られることを証明すること。
• 四分円における彩色された高さ関数と色を無視したモデルにおける高さ関数との間の確率的マッチングを導出し、漸近的結果の転送を可能にすること。

提案手法

• Uq(d s l n+1) 構造を用いて、sln+1 に対する確率的 R 行列および L/M 行列を定義し、ゲージ変換により確率的重みを保証すること。
• 格子パス上の行演算子および置換グラフを用いて、非対称な有理関数 fμ と双対関数 gμ を構成すること。
• 相互作用方程式および融合手続きを用いて、固有関数の再帰的および対称的性質を導出すること。
• チェレドニク–ダンクル作用素をカウチ核に適用し、彩色モデルと色を無視したモデルとの間の確率的一致を確立すること。
• 置換グラフおよび F 行列を用いて単項式展開を導出し、非対称ハール＝リトルウッド多項式と関連付けること。
• プランシュレル同型を用いて、固有関数空間と測度空間との間の前向きおよび逆変換を関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の境界条件の下で、彩色された転送行列の固有関数は、確率的頂点モデルの分配関数としてどのように構成できるか？
• RQ2 固有関数およびその双対関数が満たす直交性およびプランシュレル型の関係は何か？
• RQ3 固有関数はネストされたベーテ・アンザッツとどのように関係しているか？また、非対称ハール＝リトルウッド多項式とはどのような関係にあるか？
• RQ4 四分円における彩色された高さ関数と色を無視した sl2 モデルにおける高さ関数との間の確率的マッチングは何か？
• RQ5 彩色モデルの退化は、ASEP、q-ボソン、q-プッシュTASEP といった既知の1次元確率的粒子系をどのように回復するか？

主な発見

• 彩色転送行列の固有関数 fμ は、特定の境界条件の下での格子模型の分配関数として構成され、その双対関数 gμ も同様に定義される。
• fμ と g∗ν 間の直交性が証明され、関数空間とその双対との間でプランシュレル同型が確立される。
• マッチング関係が証明され、四分円における彩色された高さ関数の分布が、色を無視した sl2 モデルにおける高さ関数の分布と一致する。これにより、後者に関する漸近的結果を転送可能となる。
• 固有関数 fμ がネストされたベーテ・アンザッツ固有関数の非自明な還元として得られることを示し、量子力学における可積分系と関連づける。
• モデルの退化により、既知の系 ASEP、q-ボソン、q-プッシュTASEP が回復され、明示的なパrameter写像が提供される。
• チェレドニク–ダンクル作用素を用いて、彩色モデルと色を無視したモデルとの間のマッチングに関する新しい証明が与えられ、非対称カウチ恒等式およびハール＝リトルウッド測度と関連づけられる。