[論文レビュー] Colourings with Bounded Monochromatic Components in Graphs of Given Circumference

Bojan Mohar, Bruce Reed+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、円周が高々 $k$ であるグラフが、各単色成分のサイズが高々 $k$ であるような $O(\log k)$ 色で彩色可能であり、この上限は定数倍の意味でタイトであることを確立している。この結果は、分離子とサイクル構造に基づく帰納的分解によって得られ、サイクルやパスをマイナーとして含まないグラフにおける欠損彩色の予想の重要なケースを解決する。

ABSTRACT

We prove that every graph with circumference at most $k$ is $O(\\log k)$-colourable such that every monochromatic component has size at most $O(k)$. The $O(\\log k)$ bound on the number of colours is best possible, even in the setting of colourings with bounded monochromatic degree.

研究の動機と目的

• 円周が高々 $k$ であるグラフを、各単色成分のサイズが有界になるように彩色するために必要な最小色数を特定すること。
• 円周が有界なグラフクラスにおける欠損彩色数の漸近的タイトな境界を確立すること。
• Ossona de Mendez らの予想である、$H$-マイナーを含まないグラフの欠損彩色数に関する予想の重要なケースを解明すること。
• 固定されたパスやサイクルをマイナーとして含まないグラフにおける欠損彩色の既存の線形上界を改善すること。

提案手法

• $k + |V(G)|$ に関する帰納法を用いて、単色成分のサイズが高々 $k$ である $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$-彩色を構築する。
• 最小分離子と3連結性に基づく再帰的分解を適用し、3連結でないグラフについては、より小さな部分グラフに分解して処理する。
• 3連結グラフに対しては、長さ $k$ のサイクル $Q$ を特定し、残りのグラフ $G' = G - V(Q)$ を分析する。この $G'$ は円周が小さくなっている。
• $G'$ の円周を $\lfloor \frac{1}{2}k \rfloor$ 以下に抑え、より少ない色数で再帰的に彩色可能であることを保証する。
• サイズが2以下のクリークを事前に彩色し、それらと交差する単色成分がクリーク内に収まることを保証する。
• $G'$ と $S = V(Q) \cup C$ に対して互いに素な色集合を割り当て、$S \setminus C$ に対しては1つの追加色を用いることで、色数総数が $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$ 以内に収まるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円周が高々 $k$ であるグラフにおいて、単色成分のサイズを $k$ で有界化するための最小色数は何か？
• RQ2 色数に $O(\log k)$ の上限が達成可能か、あるいはこれは漸近的にタイトか？
• RQ3 $H$-マイナーを含まないグラフの欠損彩色数は、$H$ の木深さ $\mathrm{td}(H)$ とどのように関係するか、特にサイクルやパスの場合に注目する。
• RQ4 Ossona de Mendez らの予想 $f(H) = \mathrm{td}(H) - 1$ が $H = C_{k+1}$ および $H = P_{k+1}$ の場合に成り立つかどうか？
• RQ5 固定されたパスやサイクルをマイナーとして含まないグラフにおいて、欠損彩色の既存の線形上界を改善できるか？

主な発見

• 円周が高々 $k$ である任意のグラフは、各単色成分のサイズが高々 $k$ であるような $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$-彩色が可能であり、$O(\log k)$ 上限が裏付けられた。
• $O(\log k)$ の上限は、任意の $d$ に対して単色次数が $\Omega(d)$ に達するようなグラフを構成することで、定数倍の意味でタイトであることが示された。
• $k$ に対して単色成分のサイズが $k$ で有界になる最小色数を $g(k)$ と定義すると、$g(k) = \Theta(\log k)$ が成り立つ。
• 欠損彩色数 $f(k)$ に対して、$\lfloor \log_2 k \rfloor + 1 \leq f(k) \leq \lfloor 3\log_2 k \rfloor$ の境界が確立され、従来の線形上界が改善された。
• 結果は、Ossona de Mendez らの予想 $f(H) = \mathrm{td}(H) - 1$ を支持しており、サイクルおよびパスのケースは予想値の3倍以内に収まっている。
• $G_{k,d}$ の構成により、円周が $2^k$ であるグラフの $k$-彩色では、単色次数が少なくとも $d$ である頂点が存在することが示され、下界の証明がなされた。