[論文レビュー] Colourings without monochromatic disjoint pairs

Dennis Clemens, Shagnik Das+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、交差構造におけるErdős–Rothschild問題の統一的枠組みを確立し、集合族、ベクトル空間、置換において、単色でない互いに素なペアを含まないr色分けを最大化するtスターよりも漸近的に最適であることを証明する。最適性の鋭い閾値を提示し、Erdős–Ko–Rado条件下での極値族を特徴づけ、Hoppen, Lefmann, および Odermannのベクトル空間に関する予想を解決する。

ABSTRACT

The typical extremal problem asks how large a structure can be without containing a forbidden substructure. The Erdős-Rothschild problem, introduced in 1974 by Erdős and Rothschild in the context of extremal graph theory, is a coloured extension, asking for the maximum number of colourings a structure can have that avoid monochromatic copies of the forbidden substructure. The celebrated Erdős-Ko-Rado theorem is a fundamental result in extremal set theory, bounding the size of set families without a pair of disjoint sets, and has since been extended to several other discrete settings. The Erdős-Rothschild extensions of these theorems have also been studied in recent years, most notably by Hoppen, Koyakayawa and Lefmann for set families, and Hoppen, Lefmann and Odermann for vector spaces. In this paper we present a unified approach to the Erdős-Rothschild problem for intersecting structures, which allows us to extend the previous results, often with sharp bounds on the size of the ground set in terms of the other parameters. In many cases we also characterise which families of vector spaces asymptotically maximise the number of Erdős-Rothschild colourings, thus addressing a conjecture of Hoppen, Lefmann and Odermann.

研究の動機と目的

• 集合族、ベクトル空間、置換の交差族へのErdős–Rothschild問題の拡張。既知の結果の一般化。
• t交差族における単色でない互いに素なペアを含まないr色分けの最大数を特定すること。
• 特にベクトル空間において、このような色分けの数を漸近的に最大化する族を特徴づけること。
• tスターよりも最適であることが保証される地面集合サイズの鋭い閾値を確立し、Hoppen, Lefmann, および Odermannの予想を解決すること。
• 極値組合せ論におけるErdős–Rothschild拡張に関する既存の結果を統一・強化すること。

提案手法

• 単色でない互いに素なペアを含まないt交差族のr色分けの数を分析するための一般化された安定性に基づく手法を開発する。
• 極値集合論およびベクトル空間の交差定理を用いて、族のサイズとその色分けの上限を導出する。
• 新しい最適化論法を用いて、中心が互いに自明に交わるtスターよりも成る族が、ベクトル空間において色分けを最大化することを示す。
• 和集合によるバウンドと安定性解析を用いて、Erdős–Ko–Rado閾値を超えると非スターファミリーが最適でないことを除外する。
• 既知の最大交差族に関する結果を活用し、組合せ的数え上げと対称性の議論を用いて色分け問題に応用する。
• 地面集合サイズに制約を課す条件（例：t=1の場合にn ≥ 3k + 10 ln k）を導入し、r=3色分けにおいてtスターよりも一意に最大化するように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 地面集合サイズnがどのような条件下で、k一様族において単色でない互いに素なペアを含まないr色分けの数を最大にするtスターよりも一意に最大化されるか？
• RQ2 有限体上のベクトル空間において、t交差部分空間の族の中で、(r,t)-色分けの数を最大化するのはどの族か？
• RQ3 t ≥ 2のとき、集合族におけるr=3色分けに対して、Erdős–Ko–Rado閾値（n ≥ (t+1)(k−t+1)）は鋭いまま保たれるか？
• RQ4 r ≥ 4色分けの集合族において、最適族を特徴づけられるか。特にnが2kに近い場合に。
• RQ5 組合せ論における極値問題において、極値構造が単色でない禁止部分構造を含まないr色分けの数を最大化する場合があるか？

主な発見

• k一様集合族においてt ≥ 2かつn ≥ (t+1)(k−t+1)+1のとき、tスターよりも(3,t)-色分けの数を最大にする族はtスターよりも唯一である。
• t=1でn ≥ 3k + 10 ln kのとき、tスターよりも(3,1)-色分けにおいて漸近的に最適であり、閾値が2k+1まで低下する可能性がある。
• ベクトル空間の設定では、最適な(r,t)-色分け族は、中心が互いに自明に交わるtスターよりも成る族であり、2t次元部分空間に含まれる。
• r=6かつt=1のとき、すべてのこのような最適族は同型であり、すべての構成において(6,1)-色分けの数は同一である。
• r=9かつt=1のとき、F_q^2の自己同型群は直線の上に3重推移的に作用し、すべてのこのような族が同一の(9,1)-色分け数を持つことを保証する。
• 本稿は、Hoppen, Lefmann, および Odermannの予想を解決し、r=6かつt=1のベクトル空間において、(r,t)-色分けを最大にする正確な族を特徴づけた。