[論文レビュー] Combalgebraic structures on decorated cliques

Samuele Giraudo|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、unitary magma から始めて、装飾付き完全グラフ（arc が unitary magma の要素でラベル付けされた完全グラフ）上の組合せ的operad の階層を生成する関手的構成 C を導入する。主な貢献は、非交叉的装飾付き完全グラフoperad NCℳ の同定と詳細な研究であり、これは Koszul であることが示され、明示的な提示と Koszul 双対を有し、Schröder 樹、Motzkin の対象、二色非交叉配置といった既知の構造が商として含まれることを示している。

ABSTRACT

A new hierarchy of combinatorial operads is introduced, involving families of regular polygons with configurations of arcs, called decorated cliques. This hierarchy contains, among others, operads on noncrossing configurations, Motzkin objects, forests, dissections of polygons, and involutions. All this is a consequence of the definition of a general functorial construction from unitary magmas to operads. We study some of its main properties and show that this construction includes the operad of bicolored noncrossing configurations and the operads of simple and double multi-tildes. We focus in more details on a suboperad of noncrossing decorated cliques by computing its presentation, its Koszul dual, and showing that it is a Koszul operad.

研究の動機と目的

• 多角形内の弧の組合せ的配置のための一般な代数的枠組みを構築すること。
• 非交叉分割、Motzkin 路、multi-tildes などの既知のoperad を、1 つの関手的構成によって統一的かつ一般化すること。
• 非交叉的装飾付き完全グラフの部分operad を Koszul operad として同定し、明示的な代数的・組合せ的性質を研究すること。
• BNC, MT, DMT といった既存のoperad が、この新しい階層内にどのように埋め込まれるかを再解釈すること。

提案手法

• unitary magma の圏から非対称operad の圏への関手 C を定義し、M-装飾付き完全グラフ上のoperad を構成する。
• M-装飾付き完全グラフ上の部分順序を用いて、2 つの代替基底（H-基底と K-基底）を導入し、operad 構造を分析する。
• 頂点の次数、交差、ネストに関する制約を課すことにより、Invℳ, Degkℳ, NCℳ などの部分operad を生成する商を構成する。
• 書き換え理論を用いて、非交叉operad NCℳ が収束する書き換え系を有することを証明し、Koszul 性を確立する。
• 元の関係を双対性を用いて導出した関係を含む提示を通じて、NCℳ! の Koszul 双対を計算する。
• 関数方程式を用いて NCℳ! のヒルベルト級数を導出し、その要素の組合せ的解釈を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交叉分割や Motzkin 路といった多角形内に弧を持つさまざまなoperad を統一する一般的な関手的構成は可能か？
• RQ2 非交叉的装飾付き完全グラフの部分operad NCℳ は Koszul か？ その提示と Koszul 双対は何か？
• RQ3 BNC, MT, DMT といった既存のoperad は、関手 C によって生成される階層にどのように埋め込まれるか？
• RQ4 Koszul 双対operad NCℳ! の要素の組合せ的解釈は何か？
• RQ5 NCℳ! のヒルベルト級数は、その背後にある組合せ論を反映する関数方程式で表現可能か？

主な発見

• NCℳ は、生成元上で収束する書き換え系が存在することから、Koszul であることが示された。
• NCℳ は、arity 2 の生成元と、arity 3 に集中する関係からなる提示を有し、関係は式 (3.2.1a)–(3.2.1c) で与えられる。
• Koszul 双対operad NCℳ! は、元の関係の直交補空間から導かれる関係 (3.2.2a)–(3.2.2c) を持つ提示を持つ。
• NCℳ! のヒルベルト級数は関数方程式 (3.2.3) を満たし、|ℳ| = 2 のとき、1, 8, 80, 992, 13760 の数列を生成し、A234596 と一致する。
• |ℳ| = 2 のとき、NCℳ! の次元は BNC operad のそれと一致し、非交叉operad の双対と二色非交叉配置との間の組合せ的関係を確認する。
• operad NCℳ は、特定の適合条件を満たす弧にラベルが付与された Schröder 樹のoperad と同型である。