[論文レビュー] Combinatorial and algebro-geometric cohomology classes on the moduli spaces of curves

Enrico Arbarello, Maurizio Cornalba|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 133

ひとこと要約

本稿は、曲線のモジュライ空間上の組合せ的サイクルと代数幾何的コホモロジー類の間の幾何的対応を確立し、組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ 上での $\psi$-類の交差数が、ムーディ・モリータ・ミラー類における明示的な多項式 $X_{m_*,n}$ 上でのそれらと等しいことを示している。主な結果は、デリーニュ＝マウムフォードコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上での組合せ的サイクルと代数的コホモロジー類の間の正確な双対性であり、これは余次元1および最初の11個の重みケースで検証されている。

ABSTRACT

Based on the combinatorial description of the moduli spaces of curves provided by Strebel differentials, Witten and Kontsevich have introduced combinatorial cohomology classes $W_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}$, and conjectured that these can be expressed in terms of Mumford-Morita-Miller classes. It is argued that this link should be provided by a theorem of Di Francesco, Itzykson and Zuber which relates the derivatives of the Witten-Kontsevich partition function with respect to one set of variables to the derivatives with respect to the other set of variables. Two things are shown. First of all that this works in complex codimension 1. Secondly that in all the cases when it has been possible to make the Di Francesco, Itzykson and Zuber correpondence explicit this translates into identities of the type $$ \int_{W_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}}\prodψ_i^{d_i} =\int_{\overline{\cal{M}}_{g,n}} X_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}\prodψ_i^{d_i} $$ where the $X_{(m_0,m_1,m_2,\dots),n}$ are explicit polynomials in the algebro-geometric classes and the $ψ_i$ are the Chern classes of the point bundles, for any choice of $d_1,\dots,d_n$.

研究の動機と目的

• 組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ が曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上に存在する場合、それらと代数幾何的コホモロジー類との間の幾何的リンクを確立すること。
• 組合せ的サイクルがムーディ・モリータ・ミラー類の形で表現可能であるというウィッテンの予想を検証すること。
• 組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ 上での $\psi_i$-類の交差数が、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のタウトロジカル・リング内での明示的な多項式 $X_{m_*,n}$ 上でのそれらと等しいことを示すこと。
• ディ・フランチェスコ＝イツィクソン＝ズーバー対応をコンパクト化されたモジュライ空間上での幾何的双対性へと拡張すること。

提案手法

• コンツェビッチの行列モデルを用いて、$\psi$-類の交差数の母関数 $F$ をヘルミート行列積分の漸近展開と関連付ける。
• ディ・フランチェスコ＝イツィクソン＝ズーバー対応を適用し、$s$-変数に関する $\exp F$ の微分を $t$-変数に関する微分の組み合わせに変換する。
• 得られた恒等式を幾何学的に解釈し、組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ と代数的クラス $X_{m_*,n}$ 間のコホモロジー的双対性として解釈する。
• 特異曲線による $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の層化と双対グラフ形式を用いて、余次元1の場合を分析する。
• $\psi_i$-類をマークされた点における余接線束のチャーン類として定義し、交差数を定義する。
• $\psi$-類および他のタウトロジカル・クラスを用いて $X_{m_*,n}$ の明示的表現を計算し、重み11まで検証済み。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上の組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内の代数的コホモロジー類として表現可能か？
• RQ2 ディ・フランチェスコ＝イツィクソン＝ズーバー対応は、コンパクト化されたモジュライ空間上のコホモロジー類として幾何的実現可能か？
• RQ3 組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ 上での交差数 $\int_{W_{m_*,n}} \prod \psi_i^{d_i}$ は、明示的な多項式 $X_{m_*,n}$ に対して $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} X_{m_*,n} \prod \psi_i^{d_i}$ と等しいか？
• RQ4 組合せ的サイクルと代数的クラスの間の双対性は、余次元1を超えて拡張可能か？

主な発見

• 組合せ的サイクル $W_{m_*,n}$ 上での交差数 $\langle \tau_{d_1} \dots \tau_{d_n} \rangle_{m_*}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のタウトロジカル・リング内での明示的な代数的クラス $X_{m_*,n}$ 上でのそれらと一致する。
• 余次元1において、双対性が成り立つコホモロジー部分空間は $n > 1$ の場合で最大であり、双対性の強さを裏付けている。
• $F$ の次数（重み）として定義される最初の11ケースについて、ディ・フランチェスコ＝イツィクソン＝ズーバー対応が正確なコホモロジー的恒等式に翻訳される。
• 母関数 $F$ は、$s$-および $t$-微分の間の対応を記述する偏微分方程式系を満たし、幾何学的にコホモロジー的恒等式として実現される。
• $\partial^3 F / \partial s_2^3$ について、明示的に検証され、$t$-微分および $\psi$-類項を含む複雑な式が得られた。
• この結果は、ディ・フランチェスコ＝イツィクソン＝ズーバー対応が、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上での組合せ的クラスと代数幾何的クラスの間の深い幾何的双対性の背後にあるものであるという予想を支持している。