[論文レビュー] Combinatorial and algorithmic aspects of hyperbolic polynomials

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Apr 27, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、双曲多項式に対して、単項式 $x_1 x_2 \cdots x_n$ がそのサポートに含まれるかどうか（問題1）と、点 $(1,1,\dots,1)$ がニュートン多面体に含まれるかどうか（問題2）が同値であり、オракルアルゴリズムを用いて決定的多項式時間で解けることを確立している。主な貢献は、ラドの定理の双曲的一般化であり、双曲多項式の組み合わせ的およびアルゴリズム的性質を統合し、パーマネントや行列式の結果を拡張している。

ABSTRACT

Let $p(x_1,...,x_n) =\sum_{(r_1,...,r_n) \in I_{n,n}} a_{(r_1,...,r_n)} \prod_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{r_{i}}$ be homogeneous polynomial of degree $n$ in $n$ real variables with integer nonnegative coefficients. The support of such polynomial $p(x_1,...,x_n)$ is defined as $supp(p) = \{(r_1,...,r_n) \in I_{n,n} : a_{(r_1,...,r_n)} eq 0 \}$ . The convex hull $CO(supp(p))$ of $supp(p)$ is called the Newton polytope of $p$ . We study the following decision problems, which are far-reaching generalizations of the classical perfect matching problem : {itemize} {\bf Problem 1 .} Consider a homogeneous polynomial $p(x_1,...,x_n)$ of degree $n$ in $n$ real variables with nonnegative integer coefficients given as a black box (oracle) . {\it Is it true that $(1,1,..,1) \in supp(p)$ ?} {\bf Problem 2 .} Consider a homogeneous polynomial $p(x_1,...,x_n)$ of degree $n$ in $n$ real variables with nonnegative integer coefficients given as a black box (oracle) . {\it Is it true that $(1,1,..,1) \in CO(supp(p))$ ?} {itemize} We prove that for hyperbolic polynomials these two problems are equivalent and can be solved by deterministic polynomial-time oracle algorithms . This result is based on a "hyperbolic" generalization of Rado theorem .

研究の動機と目的

• 非負整数係数をもつ同次双曲多項式のサポートに単項式 $x_1 x_2 \cdots x_n$ が含まれるかどうかを特定すること。
• そのような多項式のニュートン多面体に点 $(1,1,\dots,1)$ が含まれるかどうかを決定すること。
• 双曲多項式に対して、これらの2つの意思決定問題が同値であることを確立すること。
• ラドの定理を双曲的設定に一般化し、多様体や代数的構造（例えば、多様体的マトロイド）に適用すること。
• 凸最適化技術を用いて、多項式時間の決定的オラクルアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 行列式およびパーマネントの性質を一般化する $P$-双曲的および $S$-双曲的多項式の概念を導入する。
• 多項式 $p$ のサポート $\mathrm{supp}(p)$ およびニュートン多面体 $\mathrm{CO}(\mathrm{supp}(p))$ を定義する。
• ラドの定理の双曲的類似（定理 2.2）を提案し、組み合わせ的条件と双曲多項式の代数的性質を結びつける。
• 楕円体法を用いて、非線形凸計画問題として意思決定問題を解き、有理点における $p$ の評価をオラクルクエリで行う。
• 二重確率的双曲多項式に対する多項式時間一般化スケーリング（シンクホルンスケーリング）を導入する。
• 整数的多様体的マトロイドの理論を用いて、$P$-双曲多項式のサポートを、$\sum r_i = n$ という超平面との交差として特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $P$-双曲多項式のサポートに単項式 $x_1 x_2 \cdots x_n$ が存在するか？
• RQ2 そのような多項式のニュートン多面体に点 $(1,1,\dots,1)$ が含まれるか？
• RQ3 多項式へのオラクルアクセスのみを用いて、これらの2つの問題を決定的多項式時間で解くことができるか？
• RQ4 サポート属性の組み合わせ的および代数的条件を統合する双曲的ラド定理の一般化は存在するか？
• RQ5 双曲的ヴァン・ダール・ヴァーゲン予想は、古典的パーマネントに関する結果を拡張する形で証明可能か？

主な発見

• 双曲多項式に対して、問題1と問題2は同値であり、オラクルクエリを用いて決定的多項式時間で解ける。
• 双曲的ラド定理（定理 2.2）は、$P$-双曲多項式のサポートを、整数的多様体的マトロイドと超平面 $\sum r_i = n$ の交差として構造的に特徴付ける。
• 非線形凸計画問題に適応された楕円体法は、$n$ および $\log p(1,\dots,1)$ に多項式的に依存するクエリ回数で、両問題を多項式時間で解く。
• $P$-双曲多項式のサポートは、整数的多様体的マトロイドと次数 $n$ の超平面の交差として特徴付けられ、[7]の結果を一般化する。
• 双曲的ヴァン・ダール・ヴァーゲン予想は、混合微分 $\partial^n p / \partial x_1 \cdots \partial x_n$ を乗法的要因 $n^n / n!$ で近似する決定的多項式時間オラクルアルゴリズムの存在を示唆する。
• 本論文は、問題1のすべての難しいインスタンスが、必然的に不安定な多項式であることを確立しており、複雑さと双曲多項式の安定性の間の関係を結ぶ。