[論文レビュー] Combinatorial Approximation Algorithms for MaxCut using Random Walks

Satyen Kale, C. Seshadhri|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、スペクトル法をシミュレートするために単純なランダムウォークを用いることで、0.5の近似比を定数因子で上回る最初の組み合わせ的近似アルゴリズムを提示する。任意の $ b > 1.5 $ に対して、$ \widetilde{O}(n^b) $ 時間で $ (0.5 + \delta) $-近似（$ \delta = \delta(b) > 0 $）を達成する。これは、ランダムウォークサンプリングと、混合性に基づく新規な局所的グラフ分割手順を組み合わせることで実現される。

ABSTRACT

We give the first combinatorial approximation algorithm for Maxcut that beats the trivial 0.5 factor by a constant. The main partitioning procedure is very intuitive, natural, and easily described. It essentially performs a number of random walks and aggregates the information to provide the partition. We can control the running time to get an approximation factor-running time tradeoff. We show that for any constant b > 1.5, there is an O(n^{b}) algorithm that outputs a (0.5+delta)-approximation for Maxcut, where delta = delta(b) is some positive constant. One of the components of our algorithm is a weak local graph partitioning procedure that may be of independent interest. Given a starting vertex $i$ and a conductance parameter phi, unless a random walk of length ell = O(log n) starting from i mixes rapidly (in terms of phi and ell), we can find a cut of conductance at most phi close to the vertex. The work done per vertex found in the cut is sublinear in n.

研究の動機と目的

• MaxCutの非自明な0.5近似比を上回る組み合わせ的アルゴリズムの開発。これは、以前に達成されていなかった。
• 数値的行列計算（例：固有ベクトルの計算）を単純なランダムウォークと整数演算に置き換えること。
• 実行時間と近似比のトレードオフを提供し、2次未塔時間で0.5を超える近似を達成すること。
• 各頂点あたりサブリニアな作業量で、良好な混合性を保証するか、低混合性のカットを発見する局所的グラフ分割手順の設計。

提案手法

• 各頂点から対数的長さの複数のランダムウォークを用いて、特定の頂点に到達する確率を推定し、スペクトル計算の代わりにサンプリングを用いる。
• ランダムウォークの結果に基づく「符号反転」ヒューリスティックを適用し、これはグラフラプラシアン上のパワー法をシミュレートすることを示している。
• 弱い局所的分割手順を設計：頂点と混合性パrameter $ \phi $ が与えられたとき、導出が $ \phi $ 未満のカットを発見するか、長さ $ O(\log n) $ のランダムウォークが良好に混合していることを証明する。
• ランダムウォークの挙動に基づいてグラフを部分グラフに分割し、各成分における推定されたMaxCut値に基づいてエッジをカットする。
• 集中限界を用いてサンプルから確率を推定し、高確率で正確性を保証する。
• 最終的なカットは、部分グラフからのカットを組み合わせ、残りのエッジの半分をカットすることで形成され、二項エントロピー関数 $ H(\cdot) $ の凸性を用いて性能が制限される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値線形代数（例：固有値計算）に依存せずに、完全に組み合わせ的なアルゴリズムがMaxCutの0.5近似比を上回ることは可能か？
• RQ2 行列指数や固有ベクトル計算を避けて、ランダムウォークとサンプリングのみでスペクトル法（例：パワー法）をシミュレートすることは可能か？
• RQ3 各頂点あたりサブリニアな作業量で、良好な混合性の保証を維持しながら、局所的分割アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ4 このような組み合わせ的MaxCutアルゴリズムにおいて、実行時間と近似比のトレードオフはどのように変化するか？
• RQ5 この手法は、MaxCutを越えて他の2-CSPに一般化可能か？

主な発見

• 任意の定数 $ b > 1.5 $ に対して、アルゴリズムは $ \widetilde{O}(n^b) $ 時間で $ (0.5 + \delta) $-近似（$ \delta = \delta(b) > 0 $）を達成する。
• $ \widetilde{O}(n^{1.6}) $ 時間では近似因子が $ 0.5051 $、$ \widetilde{O}(n^2) $ 時間では $ 0.5155 $、$ \widetilde{O}(n^3) $ 時間では $ 0.5727 $ を達成する。
• アルゴリズムの解析により、ランダムウォークに基づくヒューリスティックが、グラフラプラシアン上のパワー法を定数確率で効果的にシミュレートしていることが示された。
• 局所的分割手順により、出力頂点あたりサブリニアな作業量が保証され、低混合性のカットを発見するか、特定の頂点からのランダムウォークが速やかに混合していることを証明する。
• 近似比は、$ \max_{\varepsilon_1} \min_\varepsilon \max[1/(2(1-\varepsilon)), \text{OBJ}(\varepsilon, \varepsilon_1)] $ で下限づけられており、$ \text{OBJ} $ はエッジ分布とカット品質に関する制約の下で最小化される。
• $ b \to \infty $ のとき、近似因子はトレヴィザンのアルゴリズム（$ 0.6142 $）の値に収束する。これは、アルゴリズムが既知のスペクトル境界にスケーラブルに近づくことを示している。