[論文レビュー] Combinatorial background for non-structure

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本論文はモデル理論における非構造の研究のための基礎的組合せ論的道具を提供し、特に $\omega$-木上の分割定理、可算個の散らばった順序の和としての線形順序、pcf理論、および正規イデアルに焦点を当てる。$[\lambda]^{<\kappa}$ 上のフィルターにおける $\diamondsuit^*$ の保存性を含め、ダイヤモンド原理およびフィルターに関する主要な結果を確立しており、[Sh:331] における応用にとって不可欠である。

ABSTRACT

This was supposed to be an appendix to the book "Non-structure", and probably will be if it materializes. It presents relevant material, sometimes new, which was used in works which were supposed to be part of that book. In section 1 we deal with partition theorems on trees with omega levels; it is self contained. In section 2 we deal with linear orders which are countable union of scattered ones with unary predicated, it is self contained. In section 3 we deal mainly with pcf theory but just quote. In section 4, on normal ideals, we repeat [Sh:247]. This is used in [Sh:331].

研究の動機と目的

• 非構造のモデル理論的解析に用いるための、特に木構造および線形順序に関する組合せ的道具立てを構築すること。
• フィルター拡張における $\diamondsuit^*$ および $\diamondsuit$ 原理の保存性に関する結果を確立し、非構造理論における一貫性結果に不可欠である。
• 『非構造』という書籍の付録として用意することを目的として、$\omega$-木、線形順序、およびpcf理論に関する分割定理の自己完結的背景を提供すること。
• $\aleph_2$-完全なイデアルとそれらの正規性条件を有するタグ付き木の役割を形式化し、フォーシングおよびモデル理論的議論における再帰的構成を可能にする。
• $[\lambda]^{<\kappa}$ 上のフィルター、イデアル、およびダイヤモンド系列の相互作用を、特に正則集合および大基数の文脈で明確化すること。

提案手法

• 後続集合上に $\aleph_2$-完全なイデアル $\mathbb{I}_\eta$ を持つ $\omega$-木とタグ付き木 $({{\mathscr{T}}}, \bar{\mathbb{I}})$ を導入し、$\text{Succ}_{{\mathscr{T}}}(\eta) \notin \mathbb{I}_\eta$ となる分裂点を定義する。
• $\leq$, $\leq^*$, $\leq^\otimes$, および $\leq^\otimes_\mu$ の4つの順序関係をタグ付き木間で定義し、それらの組合せ的複雑性およびイデアル構造を比較する。
• $\diamondsuit^*$ 原理を、各 $u \in [\lambda]^{<\kappa}$ に対して $|P_u| \leq |u|$ となる列 $\langle P_u : u \in [\lambda]^{<\kappa} \rangle$ を用いて適用し、任意の $X \subseteq \lambda$ に対して $\{u : X \cap u \in P_u\} \in \mathcal{D}$ が成り立つように保証する。
• ペアリング関数 $\text{pr}$ を用いて列を符号化し、$\diamondsuit^*$-列の構成における矛盾を導出し、フィルター和における保存性を証明する。
• $[\lambda]^{<\kappa}$ 上のフィルター $D$ に対して $\diamondsuit_D$ および $\diamondsuit^*_D$ 原理を適用し、それらをサイズ $\lambda$ の構造のモデル理論的近似と関連付ける。
• Kunen および Gregory–Shelah の $\lambda = \kappa$ の場合の $\diamondsuit$ の結果を用い、$\lambda = \lambda^{<\kappa}$ に一般化し、適切な条件下で $\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_{\kappa}(\lambda) + \mathcal{U})$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規細分フィルター $\check{\mathcal{D}}_1 \subseteq \check{\mathcal{D}}_2$ に対して、$\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_1 + \mathcal{U}_2)$ が $\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_2 + \mathcal{U}_1)$ を含意する条件は何か？
• RQ2 フィルター和 $\check{\mathcal{D}} + \mathcal{U}$ において、$\diamondsuit_D$ および $\diamondsuit^*_D$ 原理はどのように振る舞うか。特に $\lambda = \lambda^{<\kappa}$ の場合に注目する。
• RQ3 タグ付き木における $\leq^\otimes_\mu$ 順序は、木の拡張に伴うイデアル構造の保存にどのような役割を果たすか？
• RQ4 $\mathcal{U} \neq \emptyset \mod \check{\mathcal{D}}_{<\kappa}(\lambda)$ のもとで、$\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_{\kappa}(\lambda) + \mathcal{U})$ が成り立つのはどのような場合か？
• RQ5 ペアリング関数と対角線化を用いた $\diamondsuit^*$-列の構成は、フィルター拡張プロセスにおける矛盾を避けるためにどのように行われるか？

主な発見

• 正規細分フィルター $\check{\mathcal{D}}_1 \subseteq \check{\mathcal{D}}_2$ および $\mathcal{U}_1 \subseteq \mathcal{U}_2$ に対して、$\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_1 + \mathcal{U}_2)$ が $\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_2 + \mathcal{U}_1)$ を含意することを示し、フィルター拡張におけるダイヤモンド原理の対称性を確立する。
• $\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_1 + \mathcal{U}_2)$ が $\diamondsuit(\check{\mathcal{D}}_1 + \mathcal{U}_2)$ を含意することを示し、フィルター拡張の文脈において $\diamondsuit^*$ が $\diamondsuit$ より強いことを示す。
• $\mathcal{U} \neq \emptyset \mod \check{\mathcal{D}}_{<\kappa}(\lambda)$ かつ $\lambda = \lambda^{<\kappa}$ のとき、$\diamondsuit^*(\check{\mathcal{D}}_{\kappa}(\lambda) + \mathcal{U})$ が成り立つ。これは非構造理論における重要な一貫性道具を提供する。
• ペアリング関数 $\text{pr}$ および対角線化を用いた $\diamondsuit^*$-列の構成において、$B^i \cap u \neq B^i_u$ となる $u$ が $\check{\mathcal{D}}_1$-大集合にわたって成り立つと矛盾が生じる。これにより、正しい近似の存在が証明される。
• 任意の $\kappa < \lambda = \lambda^{<\kappa}$ に対して、$\mathcal{U}$ が特定の閉包性質を満たし、$|u|^{<\theta} = |u|$ である限り、$\check{\mathcal{D}}_{\kappa}(\lambda) + \mathcal{U}$ 上の $\diamondsuit^*$-列の存在が保証される。
• $\leq^\otimes_\mu$ 順序は、$|\text{Succ}_{{\mathscr{T}}_1}(\eta)| < \mu$ を満たす非分裂ノードに対して、木の拡張が後続集合を保存することを保証し、$\mu$-完全なイデアルが存在する状況下での制御された再帰的構成を可能にする。