[論文レビュー] Combinatorial Characterization of Formal Languages

Arseny M. Shur|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

semigroups and automata theory参考文献 96被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限アルファベット上での最小β-パワーと平方自由語の研究を通じて、形式的言語の組合せ的特徴付けを提示する。グラフ論的および構造的技法を用いて、存在条件および禁止周期の導出を行う。主たる貢献は、k-aryアルファベット上での最小β-パワーの周期の完全な分類であり、禁止周期が有限であり、かつk(k−1)で有界であることが明らかになった。また、異なるβの範囲とアルファベットサイズにおける存在条件が明示されている。

ABSTRACT

This paper is an extended abstract of the dissertation presented by the author for the doctoral degree in physics and mathematics (in Russia). The main characteristic studied in the dissertation is combinatorial complexity, which is a "counting" function associated with a language and returning the number of words of given length in this language. For several classes of languages, a variety of problems about combinatorial complexity and its connections to other parameters of languages are studied. A brief introduction to the topic and the formulations of results are presented. No proofs are given; instead, the papers containing the proofs are cited.

研究の動機と目的

• 有限アルファベット上での最小β-パワーの完全な組合せ的特徴付けを提供すること、特に禁止および許容される周期に焦点を当てる。
• 特に臨界範囲β ∈ [(7/3)+, 5/2]における、さまざまなβ値に対する二進およびk-ary β-自由な円形語の存在に関する未解決問題を解消すること。
• 3文字の平方自由な円形語と重み付きK₃,₃グラフ上の閉路の間の関係を確立し、過去の計算的結果を計算機を用いない証明で可能にする。
• 特にβ ∈ [2+, (7/3)]において、最小β-パワーの構造を、Thue–Morse準同型写像の共役として記述すること。
• k-ary最小β-パワーの禁止周期の有限性および分布に関する一般的予想を提示し、その発生に関する明確な上限を支持すること。

提案手法

• 3文字の平方自由な円形語を重み付きK₃,₃グラフ上の閉路として表現することで、コンピュータ探索に依存しないグラフ論的モデル化を採用した。
• 特にThue–Morse準同型写像θを用いた共役および準同型写像の構造的解析により、β ∈ [2+, (7/3)]における最小β-パワーを特徴付けた。
• 再帰関係および母関数を用いて組合せ的複雑性を分析し、Chomsky–SchützenbergerおよびFlajoletの文脈自由言語に関する定理と関連づけた。
• βの区間と周期制約に関する場合分けを用いて、最小β-パワーの存在および非存在の定理を確立した。pに関するモジュラ算術の条件を含む。
• 理論的分析と既知の決定可能性結果を組み合わせ、計算機による検証付きの例外を含む定理の拡張を行い、完全性を保証した。
• 禁止周期に関する一般的予想を提示し、構造的および漸近的解析によって支持した。p ≥ k(k−1)である周期は許容可能であると明確な上限が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 βとkのどの値に対して、周期pの最小k-ary β-パワーが存在するか。また、pに関する構造的条件は何か。
• RQ2 最小β-パワーの禁止周期の性質と範囲は何か。βとkに応じてどのように変化するか。
• RQ3 特にβ ∈ [(7/3)+, 5/2]における二進β-自由な円形語の存在をどのように特徴づけられるか。例外はどのように説明されるか。
• RQ4 3文字の平方自由な円形語とK₃,₃グラフ上の閉路との関係は何か。この関係が非計算的証明を可能にする仕組みは何か。
• RQ5 最小β-パワーの禁止周期の集合が有限であるための条件は何か。許容される周期のpの最良の上界は何か。

主な発見

• β ∈ [(7/3)+, 5/2]における二進最小β-パワーでは、禁止周期はp ∈ {5, 9, 11, 18}に限定され、これらの長さではそのような語は存在しない。
• β ∈ [2+, (7/3)]のとき、最小β-パワーはθ^m(a)、θ^m(b)、θ^m(aba)、またはθ^m(bab)の共役であり、周期はp = 2^mまたはp = 3·2^mである。
• k ≥ 4およびβ = 2のとき、任意の正の整数pは最小k-ary β-パワーの許容周期である。
• k ≥ 3およびβ ≥ 2+のとき、すべての正の整数pは許容されるが、特定のモジュラーおよび区間制約を除く。
• β ∈ [k/(k−1)+, (k−1)/(k−2)]のとき、禁止周期にはp ∈ [(m−2)(k+1)+1, m(k−1)−1]を満たし、かつp mod k ≠ 0であるpが含まれ、さらにp = 3kまたは4kも禁止される。
• k ≥ 9およびβ ∈ [(2k−5)/(2k−7)+, (k−3)/(k−4)]のとき、周期p = 2k−7は禁止され、禁止周期の集合のサイズはΩ(k²)である。