[論文レビュー] Combinatorial Discrepancy for Boxes via the Ellipsoid-Infinity Norm

Jiřı́ Matoušek, Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Mathematical Approximation and Integration被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、行列の$γ_2$ノルムが逐次的不均衡をきわめてよく近似することを確立し、不均衡の境界を多項式時間で計算可能にする。$\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$および$\mathrm{herdisc}\, A = O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$を証明し、逐次的不均衡に対する最初の多項式時間近似アルゴリズムを導出し、$d$次元Tusnady問題に対して近似的に最適な$\Omega(\log^{d-1} n)$の下界を示した。

ABSTRACT

The $\gamma_2$ norm of a real $m imes n$ matrix $A$ is the minimum number $t$ such that the column vectors of $A$ are contained in a $0$-centered ellipsoid $E\subseteq\mathbb{R}^m$ which in turn is contained in the hypercube $[-t, t]^m$. We prove that this classical quantity approximates the \emph{hereditary discrepancy} $\mathrm{herdisc} A$ as follows: $\gamma_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc} A$ and $\mathrm{herdisc} A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdot\gamma_2(A) $. Since $\gamma_2$ is polynomial-time computable, this gives a polynomial-time approximation algorithm for hereditary discrepancy. Both inequalities are shown to be asymptotically tight. We then demonstrate on several examples the power of the $\gamma_2$ norm as a tool for proving lower and upper bounds in discrepancy theory. Most notably, we prove a new lower bound of $\Omega(\log^{d-1} n)$ for the \emph{$d$-dimensional Tusnady problem}, asking for the combinatorial discrepancy of an $n$-point set in $\mathbb{R}^d$ with respect to axis-parallel boxes. For $d>2$, this improves the previous best lower bound, which was of order approximately $\log^{(d-1)/2}n$, and it comes close to the best known upper bound of $O(\log^{d+1/2}n)$, for which we also obtain a new, very simple proof.

研究の動機と目的

• 行列の$\gamma_2$ノルムと逐次的不均衡の間のきわめて良い近似境界を確立すること。
• $\gamma_2$ノルムを用いて、逐次的不均衡の多項式時間で計算可能な近似アルゴリズムを構築すること。
• $\gamma_2$ノルムフレームワークを用いて、特に$d$次元Tusnady問題に対して、新しい不均衡理論の下界を導出すること。
• 既知の$O(\log^{d+1/2} n)$の上界に対して、新しい簡素な証明を提供すること。

提案手法

• 行列$A$の列ベクトルが、$[-t,t]^m$に含まれる原点中心の楕円体$E$に収まるような最小の$t$を$\gamma_2$ノルムとして定義し、$\mathbb{R}^m$における幾何的包含関係と関連付ける。
• $\gamma_2(A)$が逐次的不均衡を$O(\log m)$の要因内で近似できることを証明し、近似比の上界と下界の両方を確立する。
• $\gamma_2$ノルムと楕円体-無限大ノルムの双対性を用い、幾何的および関数解析的技法を用いて不均衡の境界を導出する。
• $\gamma_2$フレームワークを$\mathbb{R}^d$における軸に平行なボックスに適用し、$d$次元Tusnady問題の構造を活かして漸近的にタイトな境界を導出する。
• $\gamma_2$ノルムが、不均衡理論における上界と下界を示す強力なツールであることを、具体的な例を通じて示す。
• $\gamma_2$ノルムフレームワークを用いて、$d$次元Tusnady問題における$O(\log^{d+1/2} n)$の上界に対して、新しい初等的証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma_2$ノルムを用いて、逐次的不均衡を多項式的要因内で近似できるか。
• RQ2 $\gamma_2(A)$と$\mathrm{herdisc}\, A$の間の最もきつい近似比は何か。
• RQ3 $\gamma_2$ノルムフレームワークを用いて、$d$次元Tusnady問題の改善された下界を得られるか。
• RQ4 $\gamma_2$ノルムを用いて、逐次的不均衡を近似する多項式時間アルゴリズムは存在するか。
• RQ5 $\gamma_2$ノルムは、$d$次元Tusnady問題における既知の$O(\log^{d+1/2} n)$上界に対して、より簡単な証明を提供できるか。

主な発見

• $\gamma_2$ノルムは、$\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$という要因内で逐次的不均衡を近似する。
• 逐次的不均衡は、$O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$で上界が与えられ、近似比が対数的要因を除いてタイトであることが示された。
• $\gamma_2$ノルムは、逐次的不均衡の多項式時間で計算可能な近似を提供し、効率的なアルゴリズム的応用を可能にする。
• $d$次元Tusnady問題に対して、$\Omega(\log^{d-1} n)$の新しい下界が証明され、以前の最良の下界$\sim \log^{(d-1)/2} n$を改善した。
• 本稿では、$\gamma_2$ノルムフレームワークを用いて、$d$次元Tusnady問題における$O(\log^{d+1/2} n)$上界の新しい初等的証明を提供した。
• $\gamma_2$ノルムと逐次的不均衡の境界が、漸近的にタイトであることが示され、近似比の最適性が確認された。