[論文レビュー] Combinatorial Information Theory: I. Philosophical Basis of Cross-Entropy and Entropy

Robert K. Niven|ArXiv.org|Dec 1, 2005

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 100被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、エントロピーと交差エントロピーの最も基本的な根拠として組合せ的基礎を確立し、スターリングの近似を用いて多項分布からシャノンおよびカルバック・ライブラー測度を導出する。非多項分布系に適用可能な一般化されたエントロピーおよび交差エントロピーの定義を導入し、統計力学、推論、情報科学に応用可能な統一的「組合せ的情報理論」を構築する。

ABSTRACT

This study critically analyses the information-theoretic, axiomatic and combinatorial philosophical bases of the entropy and cross-entropy concepts. The combinatorial basis is shown to be the most fundamental (most primitive) of these three bases, since it gives (i) a derivation for the Kullback-Leibler cross-entropy and Shannon entropy functions, as simplified forms of the multinomial distribution subject to the Stirling approximation; (ii) an explanation for the need to maximize entropy (or minimize cross-entropy) to find the most probable realization; and (iii) new, generalized definitions of entropy and cross-entropy - supersets of the Boltzmann principle - applicable to non-multinomial systems. The combinatorial basis is therefore of much broader scope, with far greater power of application, than the information-theoretic and axiomatic bases. The generalized definitions underpin a new discipline of ``{\it combinatorial information theory}'', for the analysis of probabilistic systems of any type. Jaynes' generic formulation of statistical mechanics for multinomial systems is re-examined in light of the combinatorial approach. (abbreviated abstract)

研究の動機と目的

• エントロピーと交差エントロピーの哲学的基礎を再評価し、情報理論的および公理的アプローチの優位性に疑問を呈する。
• ボルツマンとプランクに根ざす組合せ的アプローチ—すなわち、エントロピー概念の最も基本的で原始的な根拠であることを示す。
• スターリングの近似を用いて多項分布の簡略化形としてシャノンおよびカルバック・ライブラーのエントロピー関数を導出する。
• エントロピーおよび交差エントロピーを多項分布系を超えて一般化し、ボーズ＝アインシュタイン、フェルミ＝ディラック、ツァリスなどの非標準的分布への応用を可能にする。
• あらゆるタイプの確率的系に対して、統計力学、情報理論、ベイズ推論を統合する単一の組合せ的枠組みで統一する。

提案手法

• スターリング近似を用いて、多項分布からカルバック・ライブラーの交差エントロピーおよびシャノンエントロピーを導出する。
• エントロピーの組合せ的定義（S = k ln W）を基礎原則とし、W はマクロ状態の統計的重みを表す。
• 最大エントロピーの原理（または最小交差エントロピーの原理）を、組合せ的数え上げにおいて最も確率の高いマクロ状態を求める結果として適用する。
• 非多項分布系に拡張可能な一般化されたエントロピーおよび交差エントロピー関数を導入する。
• リーニー、ツァリス、シャーマ＝ミタルなどの代替的エントロピー測度を、それらの背後にある組合せ的構造を通じて再解釈する。
• 組合せ的基礎に基づいてジェインズの最大エントロピー形式主義を再検討し、一般化されたクラウジウスの不等式や自由情報関数といった新しい関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜエントロピーの組合せ的基礎が情報理論的または公理的アプローチよりも根本的であるのか？
• RQ2 シャノンおよびカルバック・ライブラーのエントロピー関数は、公理として仮定されるのではなく、組合せ的原理からどのように導出できるのか？
• RQ3 最も確率の高いマクロ状態が、エントロピーの最大化または交差エントロピーの最小化を正当化する役割を果たすのはなぜか？
• RQ4 エントロピーおよび交差エントロピーを多項分布系を超えて一般化できるか？ もしそうなら、どのように可能か？
• RQ5 組合せ的アプローチは、統計力学、情報理論、ベイズ推論をどのように統一するのか？

主な発見

• ボルツマンの W = Ω に根ざす組合せ的基礎—スターリングの公式による多項分布の近似として—が、シャノンエントロピーおよびカルバック・ライブラー交差エントロピーの最も基本的な導出を提供する。
• エントロピーの最大化（または交差エントロピーの最小化）は、恣意的な原理ではなく、組合せ的枠組みにおいて最も確率の高いマクロ状態を特定する結果である。
• 非多項分布系に拡張可能な一般化されたエントロピーおよび交差エントロピー関数が導入され、量子統計やその他の非標準的分布への応用が可能になる。
• 本論文は、一般化されたクラウジウスの不等式、一般化された自由エネルギー関数（" 」を導出する。