[論文レビュー] Combinatorial interpretations of binomial coefficient analogues related to Lucas sequences

Bruce E. Sagan, Carla D. Savage|ArXiv.org|Nov 16, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$k\times(n-k)$ 矩形内での整数分割のタイル張りを用いて、ルーカス列に基づく二項係数の多項式類似物であるルーカスノミアル係数の、2つの新しい組合せ的解釈を提示する。1つ目の解釈は分割とその補集合の線形タイル張りを用い、2つ目の解釈は円形タイル張りを用いる。両者とも、生成関数がルーカスノミアル係数と正確に一致し、特に $s=t=1$ の場合のフィボノミアル係数に対して、先行研究よりも単純かつ対称的な組合せ的モデルを提供する。主な貢献は、これらの一般化された二項係数に対して、重複のない、かつ対称的なタイル張りに基づく解釈を確立したことである。

ABSTRACT

Let s and t be variables. Define polynomials {n} in s, t by {0}=0, {1}=1, and {n}=s{n-1}+t{n-2} for n >= 2. If s, t are integers then the corresponding sequence of integers is called a Lucas sequence. Define an analogue of the binomial coefficients by C{n,k}={n}!/({k}!{n-k}!) where {n}!={1}{2}...{n}. It is easy to see that C{n,k} is a polynomial in s and t. The purpose of this note is to give two combinatorial interpretations for this polynomial in terms of statistics on integer partitions inside a k by n-k rectangle. When s=t=1 we obtain combinatorial interpretations of the fibonomial coefficients which are simpler than any that have previously appeared in the literature.

研究の動機と目的

• ルーカス列に基づく二項係数の多項式類似物であるルーカスノミアル係数 $\left\{n\atop k\right\}$ の組合せ的解釈を提供すること。
• 長年の要望である、特に $s=t=1$ の場合のフィボノミアル係数のより単純な組合せ的モデルを解消すること。
• 整数分割を含む長方形グリッド上での2つの異なるタイル張りモデル（線形および円形）を導入することで、既存の解釈を統一・一般化すること。
• ルーカスノミアル係数 $\left\{m+n\atop m\right\}$ の対称的かつ重複のない組合せ的枠組みを確立し、その対称性を自然に反映すること。

提案手法

• 再帰関係 $\{n\} = s\{n-1\} + t\{n-2\}$ および $\{0\}=0$, $\{1\}=1$ を用いてルーカス多項式 $\{n\}$ を定義し、$\{n\}!$ を用いてルーカスノミアル係数 $\left\{n\atop k\right\} = \frac{\{n\}!}{\{k\}!\{n-k\}!}$ を拡張する。
• 整数分割 $\lambda \subseteq k \times (n-k)$ のフェルファーズ図に、重み $s^m t^d$（$m$ 個のモノミノ、$d$ 個のドミノ）を備えたタイル張りモデルを導入する。
• $\mathcal{L}_\lambda$ を分割 $\lambda$ の各行の線形タイル張りの集合とし、$\mathcal{L}'_{\lambda^*}$ を共役分割 $\lambda^*$ の各列の線形タイル張りの集合とし、そのうち最初がモノミノでないものに制限する。
• 円形タイル張り $\mathcal{C}_\lambda$ および $\mathcal{C}_{\lambda^*}$ を導入し、行および列の端をドミノが巻き込むのを許容する。空の行には基本重み 2 を設定する。
• $\left\{m+n\atop m\right\}$ が、すべての $\lambda \subseteq m\times n$ に対して $\mathcal{L}_\lambda \times \mathcal{L}'_{\lambda^*}$ 上の重みの和に等しいこと、および $2^{m+n}\left\{m+n\atop m\right\}$ が $\mathcal{C}_\lambda \times \mathcal{C}_{\lambda^*}$ 上の重みの和に等しいことを証明する。
• $\{n\}$ および関連する多項式列 $\langle n\rangle$ の再帰的構造を用いて、生成関数がルーカスノミアル係数と同じ再帰関係を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数分割上のタイル統計を用いて、重複のない組合せ的解釈を与えることができるか、ルーカスノミアル係数 $\left\{n\atop k\right\}$ に対して？
• RQ2 $\left\{m+n\atop m\right\}$ の対称的タイル張りモデルは、その本質的対称性を反映し、乗法的係数を避けることができるか？
• RQ3 既存の非交差ルートやタイル張りモデルよりも、フィボノミアル係数（$s=t=1$ の場合）をより単純に解釈できるか？
• RQ4 ルールのノミアル係数（$s=\ell, t=-1$ の場合）および $q$-二項係数（$s=q+1, t=-q$ の場合）は、同じタイル張り枠組みで自然に解釈できるか？
• RQ5 共役分割 $\lambda^*$ および $\mathcal{L}'$ 条件は、洗練された再帰的組合せ的モデルを達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• ルーカスノミアル係数 $\left\{m+n\atop m\right\}$ は、すべての $\lambda \subseteq m \times n$ に対して、$\mathcal{L}_\lambda \times \mathcal{L}'_{\lambda^*}$ 上のすべてのペア $T$ の重み $w(T)$ の和に正確に等しい。重みはモノミノとドミノの個数によって定義される。
• 対称的バージョンの恒等式は $2^{m+n}\left\{m+n\atop m\right\} = \sum_{\lambda \subseteq m\times n} \sum_{T \in \mathcal{C}_\lambda \times \mathcal{C}_{\lambda^*}} w(T)$ であり、空の行／列に基本重み 2 を持つ円形タイル張りを用いる。
• $s=t=1$ の場合、ルーカスノミアル係数はフィボノミアル係数に簡約され、1つ目の解釈により、ベンジャミンとプロットが提案した既存の構成よりも単純で重複のないタイル張りモデルが得られる。
• $s=\ell, t=-1$ の場合、モデルは $\ell$-ノミアル係数の新しい解釈をもたらし、それらをレクチャー・ホール分割定理と結びつける。
• $s=q+1, t=-q$ の場合、モデルは古典的 $q$-二項係数の新しい組合せ的解釈を提供する。
• 証明は、生成関数がルーカスノミアル係数と同じ再帰関係を満たすことを、$\{n\}$ および $\langle n\rangle$ の初期条件と再帰関係を用いて検証することに依拠している。