[論文レビュー] Combinatorial Mori-Zwanzig Theory

Yuanran Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、記憶核をグリーン関数そのものとの関数合成として表現することにより、多体系における相関関数およびグリーン関数の自己無撞着な時間発展方程式を導出する非摂動的枠組み、組合せ的モーリ・ツァンツィグ理論（CMZE）を提案する。可換および非可換ベル多項式を用いて、この合成関数の正確なテイラー展開を生成し、時間領域における組合せ的ダイソン＝シュヴィンガー方程式に類似した構造的方程式が得られる。この方法は、古典的・確率的・量子系、特に Hubbard モデルに対しても成功裏に適用可能であり、標準的摂動論に比べて強く相関した領域で優れた自己無撞着な、図式的アイデアに基づく展開を提供する。

ABSTRACT

We introduce a combinatorial version Mori-Zwanzig theory and develop from it a family of self-consistent evolution equations for the correlation function or Green's function of interactive many-body systems. The core idea is to use an ansatz to rewrite the memory kernel (self-energy) of the regular Mori-Zwanzig equation as a function composition of the correlation (Green's) function. Then a series of algebraic combinatorial tools, especially the commutative and noncommutative Bell polynomials, are used to determine the exact Taylor series expansion of the composition function. The resulting combinatorial Mori-Zwanzig equation (CMZE) yields novel non-perturbative expansions of the equation of motion for the correlation (Green's) function. The structural equation for deriving such a combinatorial expansion resembles the combinatorial Dyson-Schwinger equation and may be viewed as its temporal-domain analogue. After introducing the abstract word and tree representation of the CMZE, we show its wide-range application in classical, stochastic, and quantum many-body systems. In all these examples, the new self-consistent expansions we obtained with the CMZE are similar to the diagrammatic skeleton expansions used in quantum many-body theory and lattice statistical field theory. We expect such a new framework can be used to calculate the correlation (Green's) function for strongly correlated/interactive many-body systems.

研究の動機と目的

• 標準的多体系摂動論が失敗する強相関系における相関関数およびグリーン関数を計算する非摂動的枠組みの開発。
• 伝統的なモーリ・ツァンツィグ理論の限界を克服し、記憶核の関数合成を用いた自己無撞着かつ体系的な展開を可能にする。
• ベル多項式に基づく組合せ的形式的枠組みを確立し、記憶核をグリーン関数の関数として正確なテイラー展開で表現する。
• 古典的・確率的・量子的多体系に共通して適用可能な統一的で自己無撞着なアプローチを提供し、図式的スケルトン展開と構造的類似性を示す。
• 新しい形式的枠組みを用いて Hubbard モデルにおけるレタードグリーン関数の閉じた時間発展方程式を導出し、標準的摂動法よりも優れた近似を得る。

提案手法

• 記憶核を相関（グリーン）関数そのものの関数合成として書き直すことにより、組合せ的モーリ・ツァンツィグ方程式（CMZE）を提唱する。
• 可換および非可換ベル多項式を用いて、合成関数の正確なテイラー展開を計算し、体系的かつ非摂動的な近似を可能にする。
• 抽象的語および木構造の表現を導入し、CMZE の組合せ的構造を形式化することで、高次項の体系的導出を容易にする。
• 格子電子演算子に対するモーリ型射影作用素を用いて、Hubbard モデルにおけるレタードグリーン関数の時間発展方程式を導出する。
• Liouvillian の作用を射影部分空間上で表現するための補助行列 Dₙ = (A, (iL)^n A) を用い、Dₙ が格子基底においてトーペリッツ行列を形成することを示す。
• 展開を一次まで截断することで、Ω₀ および Ω₁ 項を含む自己無撞着方程式を導出し、非マークフィアン記憶寄与を有する閉じた時間発展方程式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーリ・ツァンツィグ形式的枠組みにおける記憶核を、組合せ的ツールを用いてグリーン関数の関数として体系的に展開できるか？
• RQ2 関数合成としての記憶核を、特にベル多項式を用いた代数的組合せ論によって正確に展開できるか？
• RQ3 得られる CMZE 框組みが、Hubbard モデルのような強相関量子系において、自己無撞着かつ非摂動的なグリーン関数方程式を生成できるか？
• RQ4 CMZE が、フェインマン図を用いないとしても、量子場理論における図式的スケルトン展開と構造的に類似した展開を生み出すか？
• RQ5 CMZE は古典的および確率的多体系に一般化可能か？また、既存のモード結合理論と比べてどのように異なるか？

主な発見

• CMZE は、Hubbard モデルにおけるレタードグリーン関数の自己無撞着な時間発展方程式を生成し、記憶核が Ω₀ および Ω₁ 項の組み合わせを含む非マークフィアン積分として表現される。
• CMZE の一次截断により、閉じた方程式が得られる：i d/dt GR(t) = ΩGR(t) + i∫₀ᵗ (Ω₀ − Ω₁)GR(t−s)ds − ∫₀ᵗ GR(s)Ω₁GR(t−s)ds。この方程式には自己エネルギー項および頂点補正項が含まれる。
• この方法により、図式的スケルトン展開に類似した非摂動的展開が得られ、従来の正規化摂動論に対する体系的代替手段を提供する。
• 補助行列 D₁, D₂, D₃ がトーペリッツ行列であることが示され、それらの成分が Hubbard モデルのパラメータ（ϵ₀, t, U）および期待値 ⟨ni¯σ⟩ で明示的に計算可能である。
• CMZE 框組みは、組合せ的ダイソン＝シュヴィンガー方程式の時間領域版として構造的に類似しており、高次補正項の構成的導出法を提供する。
• 密度および電流演算子の高次モーメント（D₄ や D₅ に含まれる項）を含めることで、低次近似の体系的改善が可能であり、零次周波数 ω₀²(q) に 1/(2ω²(q)) のような項が補正として加わる。