[論文レビュー] Combinatorial Optimization Problems with Interaction Costs: Complexity and Solvable Cases

Stefan Lendl, Ante Ćustić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Data Management and Algorithms参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二つの組合せ的構造間の相互作用コストを組み込んだ、一般化されたフレームワークである相互作用コストを伴う組合せ最適化問題（COPIC）を導入する。これは、二次割当問題や双線形割当問題といった古典的問題を統一的かつ拡張的に扱うものであり、主な貢献は、さまざまな構造族（例：全域木、経路、マトロイド）および相互作用コスト行列（固定ランクおよび対角行列を含む）に対するCOPICの包括的な複雑性解析、およびCOPICの線形化可能条件（したがって多項式時間で解ける条件）の同定である。

ABSTRACT

We introduce and study the combinatorial optimization problem with interaction costs (COPIC). COPIC is the problem of finding two combinatorial structures, one from each of two given families, such that the sum of their independent linear costs and the interaction costs between elements of the two selected structures is minimized. COPIC generalizes the quadratic assignment problem and many other well studied combinatorial optimization problems, and hence covers many real world applications. We show how various topics from different areas in the literature can be formulated as special cases of COPIC. The main contributions of this paper are results on the computational complexity and approximability of COPIC for different families of combinatorial structures (e.g. spanning trees, paths, matroids), and special structures of the interaction costs. More specifically, we analyze the complexity if the interaction cost matrix is parameterized by its rank and if it is a diagonal matrix. Also, we determine the structure of the intersection cost matrix, such that COPIC is equivalent to independently solving linear optimization problems for the two given families of combinatorial structures.

研究の動機と目的

• 二つの解集合間の相互作用コストを伴う組合せ最適化の統一的フレームワークを形式化し、研究すること。
• 全域木、経路、マトロイドといった基本的な組合せ的構造族に対するCOPICの計算複雑性を分析すること。
• 特に固定ランクおよび対角行列構造を有する特殊な相互作用コスト行列がCOPICの取り扱いやすさに与える影響を調査すること。
• COPICのインスタンスが線形化可能（すなわち、線形最適化問題に還元可能）となる条件を同定すること。
• 組合せ問題におけるNP困難性の主な要因が相互作用コストである場合の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 与えられた族から選択された二つの構造間の独立した線形コストと、ペアワイズ相互作用コストの合計を最小化する形でCOPICを形式化すること。
• 相互作用コスト行列Qが固定ランクrを有する場合のCOPICインスタンスを、多パラメトリックプログラミングを用いて分析し、パrameterized複雑性解析を可能にする。
• 相互作用コスト行列Qが等価な線形コストに置き換え可能となる条件を同定することで、線形化可能なCOPICインスタンスを特徴付けること。
• CVP（コストベクトル多面体）の概念を用い、完全マッチングや全域木といった特定の族において、相互作用コストが線形項に吸収可能となる条件を同定すること。
• 対角相互作用コスト行列を用いて、排他性およびパッケージング制約をモデル化し、非マトロイド族においても、このような行列構造下でもNP困難性が成立することを証明すること。
• 構造的補題と背理法による証明を用いて、制約なしおよび制約ありの設定における線形化可能性の必要十分条件を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定ランクの相互作用コスト行列を有するCOPICが多項式時間で解ける条件は何か？また、ランクをパrameterとする場合、W[1]-困難であるか？
• RQ2 経路または全域木を可能な解集合とする場合、対角相互作用コスト行列を有するCOPICは効率的に解けるか？また、行列のバンド幅をパrameterとするパラメータ化複雑性はいかなるものか？
• RQ3 対角相互作用コスト行列を有するCOPICが、非負の線形コストのもとで、特定の族（例：サイズ制限付き部分集合、s-t経路）において多項式時間で解けるか？
• RQ4 符号制限なしのコストのもとで、任意のマトロイド族に対して、対角相互作用コストを有するCOPICが多項式時間で解けるか？
• RQ5 マッチングカット問題は、対角COPICの特殊ケースとして定式化可能か？そのグラフカット最適化へのインパクトは何か？

主な発見

• COPICは、二次割当問題、双線形割当問題、およびその他の古典的組合せ最適化問題を特別なケースとして一般化する。
• 完全二部グラフにおける完全マッチングに関して、COPICは、相互作用コスト行列Qが第二の族のCVPに属する場合に限り線形化可能である。
• 一方の可能な解族がべき集合（2^[m]）である場合、COPICは、Qが他方の族のCVPに属する場合に限り線形化可能であり、この条件が相互作用コストの線形化を保証する。
• 対角相互作用コスト行列に対しても、非マトロイド族（例：全域木、経路）ではCOPICは依然としてNP困難であるため、行列構造とは独立して相互作用コストが困難性を引き起こす可能性がある。
• 本稿では、CVPフレームワークを用いて、全域木や完全マッチングといった複数の組合せ的構造について、線形化可能なCOPICインスタンスの完全な特徴付けを確立した。
• 制約なしの解集合（2^[m] または 2^[n]）に対しては、線形化可能性が、Qが部分集合にわたる特定の和不変性条件を満たす場合に限り成立し、これはCVP条件によって記述される。