[論文レビュー] Combinatorial problems in finite geometry and lacunary polynomials

Aart Blokhuis|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限幾何における組合せ的問題、特に有限射影平面におけるブロッキング集合と方向集合に関して、Rédeiの途切れ多項式理論を応用する。ブロッキング集合のサイズに対するタイトな下界を確立し、少ない方向を持つ関数を特徴づける。特に、$PG(2,p)$における最小ブロッキング集合のサイズは $3(p+1)/2$ 以上であり、等号成立は特定の多項式条件のもとでのみであることを示している。

ABSTRACT

We describe some combinatorial problems in finite projective planes and indicate how Rédei's theory of lacunary polynomials can be applied to them.

研究の動機と目的

• 有限射影平面における極値的組合せ的問題を解くために、Rédeiの途切れ多項式理論を応用すること。
• 方向数が少ない、特に $|D_f|$ が理論的最小値に近い関数 $f: GF(q) \to GF(q)$ を特徴づけること。
• $PG(2,q)$における非自明なブロッキング集合のサイズに対するタイトな下界を確立すること、特に $q$ が素数の場合。
• 代数的および多項式的手法を用いて、最小サイズに達するブロッキング集合の構成を分類すること。
• 方向集合およびブロッキング集合に関する結果を、より高次のブロッキング集合および最大弧に拡張すること、特に $t < q^{1/6}$ である $n$-重ブロッキング集合の場合。

提案手法

• 関数のグラフとその方向集合を符号化するため、Rédeiの補助多項式 $R(X,Y) = \prod_{w \in GF(q)} (X - wY + f(w))$ を用いる。
• 方向集合に属する $y \in D_f$ における特殊化 $R(X,y)$ を分析し、$X^q + g(X)$ という途切れ多項式に帰着され、$\deg(g) \leq q - |D_f| - 1$ となる。これにより、方向数と多項式の疎らかさが結びつく。
• 特に $f(X) = X^q g(X) + h(X)$ かつ $\gcd(g,h)=1$ であるような多項式の構造を用いて、$g$ と $h$ の次数制約を導出する、途切れ多項式理論を応用する。
• 特に $f \in GF(q)[X^{p^e}]$ である場合に、$p^e$ 乗の概念を用いて関数を代数的構造に基づいて分類する。
• 平面を座標化することで、無限遠直線が接線となるようにし、ブロッキング集合にRédei多項式を適用することで、$f(X) = X^q g(X) + h(X)$ という途切れ形に帰着され、$\deg(g) = d$ かつ $\deg(h) \leq d+1$ となる。
• 対称関数論および初等対称多項式の性質を用いて、$r_i(Y) \equiv 0$ が $i > |D_f|$ に対して成り立つことを示し、多項式展開における途切れ構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $PG(2,p)$ における非自明なブロッキング集合の最小サイズは何か。また、その境界に達する構成はどのようなものか。
• RQ2 関数 $f: GF(q) \to GF(q)$ で、わずかに少ない数の方向を定めるものは何か。また、それらは代数的にどのように特徴づけられるか。
• RQ3 $PG(2,q)$ における $q + d$ 個のアフィン点と $d$ 個の無限遠点からなる集合がブロッキング集合をなすための条件は何か。これにより関連多項式にどのような制約が課されるか。
• RQ4 奇数 $n$ に対して、最大弧の構造を途切れ多項式法を用いて完全に特徴づけることができるか。
• RQ5 関数 $f$ が $|D_f| < (q+3)/2$ を満たすための必要十分条件は何か。また、これは部分体上での代数的形態とどのように関係するか。

主な発見

• $q = p$ が素数の場合、$PG(2,p)$ における任意の非自明なブロッキング集合のサイズは $3(p+1)/2$ 以上であり、等号成立は各点がちょうど $(p-1)/2$ 本の接線を通る場合に限る。
• $f: GF(q) \to GF(q)$ が非線形で $|D_f| < (q+3)/2$ であるならば、$f$ は $p^e > 3$ または $p^e = 3$ かつ $|D_f| = q/3 + 1$ である部分体 $GF(p^e)$ 上の線形写像である。
• $t < q^{1/6}$ である $PG(2,q)$ における $t$-重ブロッキング集合について、最小サイズは $t(q + \sqrt{q} + 1)$ であり、これはかつてその集合が $t$ 個の互いに素なBaer部分平面の和集合である場合にのみ達成される。
• $q = p$ が素数の場合、サイズ $3(p+1)/2$ の最小ブロッキング集合は $p \neq 7,13$ のとき同値を除いて一意であり、$p \leq 37$ の場合、すべてのこのような構成はコンピュータ探索により分類可能である。
• Rédei多項式 $R(X,Y)$ は $Y = y \in D_f$ のとき、途切れ多項式 $X^q + g(X)$ に特殊化され、$g$ の次数が $|D_f|$ の下界を与える。
• $f(X) = X^q g(X) + h(X)$ で $\gcd(g,h)=1$ であるとき、$k = \max(\deg g, \deg h)$ は、$f \in GF(q)[X^{p^e}]$ を満たす最大の $e$ に依存する一連の下界を満たし、各場合にタイトな制約が課される。