[論文レビュー] Combinatorial quantisation of Euclidean gravity in three dimensions

Bernd J. Schroers|ArXiv.org|Jun 30, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、3次元ユークリッド一般相対性理論におけるゼロの宇宙定数をもつ量子化を、量子双対 D(SU(2)) の量子 R-行列を、ISO(3) 接続の平坦接続のモジュライ空間のポアソン構造を支配する古典的 r-行列の量子化として特定することによって、組み合わせ的量子化の手法を提案する。主な結果として、D(SU(2)) が ISO(3) の群代数の変形として現れることを示し、先行研究で提起された疑問を解決し、3次元一般相対性理論の量子化に明確な量子群枠組みを提供する。

ABSTRACT

In the Chern-Simons formulation of Einstein gravity in 2+1 dimensions the phase space of gravity is the moduli space of flat G-connections, where G is a typically non-compact Lie group which depends on the signature of space-time and the cosmological constant. For Euclidean signature and vanishing cosmological constant, G is the three-dimensional Euclidean group. For this case the Poisson structure of the moduli space is given explicitly in terms of a classical r-matrix. It is shown that the quantum R-matrix of the quantum double D(SU(2)) provides a quantisation of that Poisson structure.

研究の動機と目的

• 3次元一般相対性理論に適した非コンパクトなゲージ群に適応する、もともとコンパクトなゲージ群に対して開発された組み合わせ的量子化技法を拡張すること。
• 宇宙定数がゼロである 3次元ユークリッド一般相対性理論の量子化を扱うこと、その際のゲージ群は ISO(3) である。
• D(SU(2)) の量子 R-行列が、平坦な ISO(3) 接続のモジュライ空間上の古典的ポアソン構造の量子化を提供することを示すこと。
• Bais と Müller が以前に提起した、量子双対 D(SU(2)) が ISO(3) の群代数の変形としてどのように現れるかという未解決の問いを解消すること。
• マッピングクラス群不変性をヒルベルト空間構成に組み込むことで、微分同相変換不変な量子一般相対性理論の枠組みを構築すること。

提案手法

• 3次元一般相対性理論の位相空間を、リーマン面 Σ 上の平坦な ISO(3) 接続のモジュライ空間として、Fock-Rosly の記述を用いる。
• 古典的ヤン・バクスター方程式の古典的 r-行列解を用いて、モジュライ空間のポアソン構造を記述する。
• 量子双対 D(SU(2)) の普遍 R-行列を、→ 0 の極限において古典的 r-行列の量子変形として特定する。
• D(SU(2)) が ISO(3) の群代数の変形であることを示し、量子群と古典的ゲージ群との間の明確な代数的関係を確立する。
• 組み合わせ的量子化プログラムを適用し、モジュライ代数の構成と、その後に D(SU(2)) の既約表現によるヒルベルト空間表現の構成を行う。
• 次元解析を用いて、変形パrameter κ が ħG₃ に比例することを特定し、量子群パrameter と物理定数との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組み合わせ的量子化プログラムは、もともとコンパクトなゲージ群に対して開発されたが、3次元ユークリッド一般相対性理論における非コンパクトなゲージ群（例：ISO(3)）へどのように拡張できるか？
• RQ2 ISO(3) クライン・シュミット理論における古典的 r-行列と、量子双対 D(SU(2)) の量子 R-行列との間の明確な関係は何か？
• RQ3 量子双対 D(SU(2)) は、Bais と Müller が以前に提起したように、ISO(3) の群代数の変形として現れるのか？
• RQ4 D(SU(2)) の変形パrameter は、3次元一般相対性理論における物理定数（例：ħ とニュートン定数 G₃）とどのように関係するか？
• RQ5 得られた量子群構造は、ヒルベルト空間におけるマッピングクラス群不変性を通じて、自然に微分同相変換不変性を実装できるか？

主な発見

• D(SU(2)) の量子 R-行列は、3次元ユークリッド一般相対性理論における平坦な ISO(3) 接続のモジュライ空間上の古典的ポアソン構造の量子化を提供する。
• D(SU(2)) の普遍 R-行列は、→ 0 の極限において、ISO(3) の古典的 r-行列に還元され、それが量子変形としての役割を果たすことが確認される。
• D(SU(2)) が ISO(3) の群代数の変形であることが示され、Bais と Müller が提起した量子双対の代数的起源に関する未解決の問いが解消される。
• D(SU(2)) の変形パrameter κ は ħG₃ に比例し、量子群パrameter が基本定数の観点から明確に物理的解釈を持つことが確立される。
• この構成は、マッピングクラス群の作用に関して不変な物理的状態を要請するヒルベルト空間への自然な帰結をもたらし、微分同相変換不変性が実装される。