[論文レビュー] Combinatorial Quantisation of GL(1|1) Chern-Simons Theory I: The Torus

Nezhla Aghaei, Azat M. Gainutdinov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的分解とモノドロミー代数を用いて、トーラス上のGL(1|1) Chern-Simons理論の組み合わせ的量子化スキームを導入する。量子状態空間を構成し、原始的k乗根の単位根における制限付き量子普遍包あらゆる代数の中心上のLyubachenko-Majid作用に等価である明示的なSL(2, Z)表現を提示する。

ABSTRACT

Chern-Simons Theories with gauge super-groups appear naturally in string theory and they possess interesting applications in mathematics, e.g. for the construction of knot and link invariants. This paper is the first in a series where we propose a new quantisation scheme for such super-group Chern-Simons theories on 3-manifolds of the form $Σ imes \mathbb{R}$. It is based on a simplicial decomposition of an n-punctured Riemann surface $Σ=Σ_{g,n}$ of genus g and allows to construct observables of the quantum theory for any g and n from basic building blocks, most importantly the so-called monodromy algebra. In this paper we restrict to the torus case, i.e. we assume that $Σ= T^2$, and to the gauge super-group G=GL(1|1). We construct the corresponding space of quantum states for the integer level k Chern-Simons theory along with an explicit representation of the modular group SL(2,Z) on these states. The latter is shown to be equivalent to the Lyubachenko-Majid action on the centre of a restricted version of the quantised universal enveloping algebra of the Lie super-algebra gl(1|1) at the primitive k-th root of unity.

研究の動機と目的

• . 3次元多様体 Σ × R の形をとるスーパーグループChern-Simons理論のための新しい組み合わせ的量子化フレームワークの構築。
• . トーラス（Σ = T²）上のGL(1|1) Chern-Simons理論の量子状態およびモジュラー群表現の構成。
• . ハンドル代数から導かれるモジュラー群作用と、制限付き量子普遍包あらゆる代数の中心上のLyubachenko-Majid作用との等価性の確立。
• . 高(genus)のリーマン面に穴をもつ場合および他の整数レベルにおけるタイプIスーパーグループへの一般化の基盤を築く。

提案手法

• . トーラスの単体的分解を用いて、基本的構成要素としてモノドロミー（またはループ）代数を定義する。
• . 量子状態を記述するためのハンドル代数TとそのFock表現を構成する。
• . 超群G = GL(1|1)のコアクションの核として、ゲージ不変部分代数Aを定義する。
• . 量子群Uq(gl(1|1))のR行列とリボン要素を用いて、ハンドル代数上のドーンねじれ作用を通じてモジュラー群SL(2, Z)作用を実現する。
• . ハンドル代数から得られるSL(2, Z)作用と、制限付き量子普遍包あらゆる代数の中心上のLyubachenko-Majid構成を比較する。
• . 量子群における原始的k乗根の単位根を用いて、整数レベルkにおける二つのSL(2, Z)作用の等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . スーパーグループChern-Simons理論のための組み合わせ的量子化スキームは、どのように3次元多様体に定式化できるか？
• RQ2 . トーラス上のGL(1|1) Chern-Simons理論の量子状態空間の構造はどのようなものか？
• RQ3 . 本フレームワークにおいてモジュラー群SL(2, Z)はどのように実現され、既知の量子群中心上の作用と等価か？
• RQ4 . 組み合わせ的構成は、穴をもつ高(genus)のリーマン面へと拡張可能か？
• RQ5 . 整数レベルkにおける理論の振る舞いはどのように規定され、原始的k乗根の単位根は量子群構造においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• . トーラス上のGL(1|1) Chern-Simons理論の量子状態空間は、ハンドル代数のFock表現を用いて明示的に構成された。
• . モジュラー群SL(2, Z)は、Dehnねじれ作用を通じて、Uq(gl(1|1))のR行列とリボン要素に符号化された形で量子状態に作用する。
• . ハンドル代数から導かれるSL(2, Z)作用は、整数レベルkにおけるgl(1|1)の制限付き量子普遍包あらゆる代数の中心上のLyubachenko-Majid作用と等価であることが証明された。
• . その等価性は、量子群が有限次元のスーパihopf代数となる整数レベルkにおいて成立する。
• . 本構成は、同じモノドロミー代数をコアとなる構成要素として用いることで、穴をもつ高(genus)の曲面への自然な拡張を可能にする。
• . 本手法は単体的分解に対して安定であり、物理的内容を完全に含む最小の分解（1個の0セル、2g+n個の1セル、n+1個の2セル）で十分である。