[論文レビュー] Combinatorial results for certain semigroups of order-preserving full contraction mappings of a finite chain

A. D. Adeshola, Abdullahi Umar|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、サイズ $ n $ の有限鎖上の順序を保つおよび順序を反転させる全収縮写像の半群の組合せ的構造を調査する。高さ、固定点、ウェストに基づく同値類を分析することで、これらの半群の濃度に対する正確な公式が導かれる。特に $|\mathcal{ORCT}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$ が得られ、OEIS に記録された新しい整数の三角形が導入される。本研究は、変換不変量と半群理論における組合せ的数え上げの間の関係を確立する。

ABSTRACT

Let ${\cal T}_n$ be the full symmetric semigroup on $X_n = \{1, 2,..., n\}$ and let ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ be its subsemigroups of order-preserving and order-preserving or order-reversing full contraction mappings of $X_n$, respectively. In this paper we investigate the cardinalities of some equivalences on ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ which lead naturally to obtaining the orders of these subsemigroups.

研究の動機と目的

• 有限鎖上の全収縮写像の半群 $\mathcal{OCT}_n$, $\mathcal{ORCT}_n$, $\mathcal{ODCT}_n$ の同値類の濃度を特定すること。
• 高さ、固定点、ウェストなどの不変量を用いて、$\mathcal{OCT}_n$, $\mathcal{ORCT}_n$, $\mathcal{ODCT}_n$ の位数に対する閉形式の式を導出すること。
• これらの半群内でのべき等元および冪零元の集合を特徴づけ、組合せ的手段を用いてその数を数えること。
• 変換不変量と既知の組合せ的数列との関係を確立し、OEIS に新しいエントリを追加すること。

提案手法

• 変換 $\mathcal{T}_n$ の中で、高さ $h(\alpha)$、固定点 $f(\alpha)$、右/左ウェスト $w^{\pm}(\alpha)$ といった重要な不変量を定義する。
• 収縮写像における像と固定点集合の凸性を用いて、可能な構成の制約を導く。
• 高さ $p$、固定点 $m$、ウェスト $k$ で分類し、組合せ的議論により同値類の数を数える。
• 再帰関係と母関数を適用し、特に高さ $p$ で固定点が1つの順序反転収縮写像の数 $b(n,p)$ に注目する。
• 既知のべき等元および冪零元の結果を活用し、特にべき等元に対して $\mathop{\rm Im}\nolimits\epsilon = F(\epsilon)$ という条件を用いる。
• 二項係数と再帰関係を用いて閉形式の公式を導出し、$\mathcal{ODCT}_n$ に対して $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $n$ の有限鎖上の順序を保つ全収縮写像の正確な数は何か？
• RQ2 高さ、固定点、ウェストといった不変量が半群 $\mathcal{ORCT}_n$ をどのように分割するか。各クラスのサイズは何か？
• RQ3 $\mathcal{ORCT}_n$ 内の順序反転全収縮写像の総数は何か。また、既知の組合せ的数列とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{ODCT}_n$ および $\mathcal{ORCT}_n$ 内のべき等元は、異なる高さと固定点値にどのように分布しているか？
• RQ5 これらの半群の数え上げから、どのような新しい組合せ的三角形または数列が生じるか？

主な発見

• 順序を保つか反転させる全収縮写像の半群 $\mathcal{ORCT}_n$ の位数は、$n \geq 1$ に対して $|\mathcal{ORCT}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$ である。
• 高さ $p$ で固定点が1つの順序反転全収縮写像の数は、$b(n,p) = (n-p+1)\sum_{i \geq 1} \binom{n-2i}{p-2i}$ で与えられる。
• 高さ $p$ で固定点 $m$ の順序を保つ全収縮写像の数は、$p = k$ のとき $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$ であり、それ以外の場合は 0 である。
• 順序を保ちかつ順序を減少させる全収縮写像の半群 $\mathcal{ODCT}_n$ の位数は、$n \geq 1$ に対して $|\mathcal{ODCT}_n| = 2^{n-1}$ である。
• $\mathcal{ODCT}_n$ 内のべき等元の数は正確に $n$ 個であり、それらは可能な固定点と一対一対応する。
• $\mathcal{ORCT}_n$ の $F(n;m_0)$ の列は、再帰 $na_n = (n+2)a_{n-1} + 2(n+1)a_{n-2}$ を満たし、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$ である。この数列は、OEIS に記録された新しい整数列である。