[論文レビュー] Combinatorial Ricci curvature on cell-complex and Gauss-Bonnnet Theorem

Kazuyoshi Watanabe|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、セル複体上の組み合わせ的微分形式に$L^2$内積とラプラシアンを用いたBochner-Weitzenb"ock公式を適用することで、セル複体上に新しい組み合わせ的リッチ曲率を定義する。グラフおよび閉じた曲面を分解する2次元複体に対して、ガウス・ボンネ型定理を確立し、2次元複体では頂点および面のガウス曲率の和が$4\chi(M)$に等しく、グラフでは$2\chi(G)$に等しいことを示す。

ABSTRACT

In this paper we present the Ricci curvature on cell-complexes and show the Gauss-Bonnnet type theorem on graphs and 2-complex that decomposes closed surface. The defferential forms on a cell complex is defined as linear maps on chain complex, and Laplacian operates this defferential forms. Then we construct the Bochner-Weitzenböck formula and define the Ricci curvature. This curvature is determined by the combinatorial calculation. We show also the properties of combinatorial vector fields on a cell complex

研究の動機と目的

• 微分形式とBochner-Weitzenb"ock公式を用いて、セル複体上に新しい組み合わせ的リッチ曲率を定義すること。
• 閉じた曲面を分解する有限グラフおよび2次元セル複体に対して、ガウス・ボンネ型定理を確立すること。
• 一定の重みの下で、リッチ曲率形式のトレースを用いて頂点および面におけるスカラー曲率とガウス曲率を定義すること。
• 離散的微分形式と重み付きチェーン複体を用いて、滑らかなリーマン多様体の曲率概念を離散的セル複体へ一般化すること。

提案手法

• 正則セル複体のセルチェーン複体上での局所線形写像として、組み合わせ的微分形式を定義する。
• セル上の正の重みを用いて、組み合わせ的微分形式に$L^2$内積を導入する。
• $L^2$内積の下での微分作用素の随伴を用いて、組み合わせ的微分形式上のラプラシアンを定義する。
• 平行ベクトル場および0次元および2次元近傍ベクトルを含む組み合わせ的Bochner-Weitzenb"ock公式を用いて、リッチ曲率を構成する。
• 隣接セル上の1形式の成分と重みを含む二次形式として、セルにおけるリッチ曲率を定義する。
• 一定の重みの下で、頂点および面におけるガウス曲率の表現を、リッチ曲率テンソルの正規化されたトレースとして導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的微分形式とBochner-Weitzenb"ock公式を用いて、セル複体上に組み合わせ的リッチ曲率を定義できるか？
• RQ2 この曲率定義の下で、閉じた曲面を分解する有限グラフおよび2次元複体に対して、ガウス・ボンネ型定理が成り立つか？
• RQ3 頂点または面におけるリッチ曲率は、局所的なセル構造および重みにどのように依存するか？
• RQ4 一定の重みの下で、単位ベクトルの選択に依存せずに、頂点または面におけるガウス曲率は不変か？
• RQ5 スカラー曲率をリッチ曲率のトレースとして定義できるか？また、その和がトポロジカル不変量をもたらすか？

主な発見

• 有限な単純グラフに対して、すべての頂点におけるガウス曲率の和は$2\chi(G)$に等しく、ここで$\chi(G)$はオイラー標数である。
• 閉じた曲面を分解する2次元準凸セル複体に対して、頂点および面のガウス曲率の和は$4\chi(M)$に等しい。
• 一定の重みの下で、頂点$v$におけるガウス曲率は$g_v = 4 - \operatorname{deg}(v)$、面$f$におけるガウス曲率は$g_f = 4 - \operatorname{deg}(f)$である。
• 辺$e > v$におけるリッチ曲率は、$\operatorname{Ric}(\omega)(e>v) = (2 - \#\{0\text{-近傍ベクトルの}\tau > \sigma\})(\omega^\tau_\sigma)^2$で与えられる。
• 頂点$v$におけるスカラー曲率は$S(v) = \operatorname{deg}(v)(4 - \operatorname{deg}(v))$、面$f$におけるスカラー曲率は$S(f) = \operatorname{deg}(f)(4 - \operatorname{deg}(f))$である。
• 正規化されたスカラー曲率はガウス曲率を与える：$g_v = S(v)/\operatorname{deg}(v) = 4 - \operatorname{deg}(v)$および$g_f = S(f)/\operatorname{deg}(f) = 4 - \operatorname{deg}(f)$。