[論文レビュー] Combinatorial Spacetimes

David W. Hillman|ArXiv.org|May 12, 1998

Genome Rearrangement Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、連続的な計量を排除し、有限個の種類の局所的近傍から構成される離散的・組み合わせ的時空のモデルを提案する。1+1次元において、行列、グラフ、テンソル表現を用い、組み合わせ的同値写像（記号的力学におけるフロー同値に密接に関連）が局所的かつ情報保存的変換を生成することを示し、これらの写像の対称テンソル代数と可換かつ余可換なバイ代数の抽象的テンソル代数との同型を確立する。

ABSTRACT

I investigate a class of dynamical systems in which finite pieces of spacetime contain finite amounts of information. Most of the guiding principles for designing these systems are drawn from general relativity: the systems are deterministic; spacetime may be foliated into Cauchy surfaces; the law of evolution is local (there is a light-cone structure); and the geometry evolves locally (curvature may be present; big bangs are possible). However, the systems differ from general relativity in that spacetime is a combinatorial object, constructed by piecing together copies of finitely many types of allowed neighborhoods in a prescribed manner. Hence at least initially there is no metric. The role of diffeomorphism is played by a combinatorial equivalence map which is local and preserves information content. Most of my results come in the 1+1-dimensional oriented case. There sets of spaces may be described equivalently by matrices of nonnegative integers, directed graphs, or symmetric tensors; local equivalences between space sets are generated by simple matrix transformations. These equivalence maps turn out to be closely related to the flow equivalence maps between subshifts of finite type studied in symbolic dynamics. Also, the symmetric tensor algebra generated by equivalence transformations turns out to be isomorphic to the abstract tensor algebra generated by commutative cocommutative bialgebras. In higher dimensions I study the case where space is a special type of colored graph (discovered by Pezzana) which may be interpreted as an n-dimensional pseudomanifold. Finally, I show how one may study the behavior of combinatorial spacetimes by searching for constants of motion, which typically are associated with local flows and often may be interpreted in terms of particles.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の核となる原理（決定論的性、局所的進化、コーシー葉層構造）を尊重するが、連続的計量を放棄する、離散的かつ有限な時空モデルの構築。
• 時空幾何が、所定の方法で有限種類の局所的近傍を組み合わせることによってどのように生じるかを明らかにすること。
• 局所的かつ情報保存的同値写像を通じて、微分同相変換不変性の組み合わせ的アナロジーを定義すること。
• 組み合わせ的時空変換と、記号的力学および代数的トポロジー分野における既存の数学的構造との関係を確立すること。
• ペツァーナが定義するn次元擬多様体を表す彩色グラフを用いて、高次元へのフレームワークの拡張。

提案手法

• 時空を、許容される有限種類の局所的近傍を貼り合わせることで構成される組み合わせ的複体としてモデル化し、離散的かつ有限な構造を形成する。
• 1+1次元時空の配置を、非負整数の行列、有向グラフ、対称テンソルで表現し、代数的解析を可能にする。
• 時空配置間の局所的同値写像を、基本的な行列変換によって生成される変換として定義し、情報内容を保存する。
• これらの同値写像を、記号的力学における有限型部分シフトにおけるフロー同値写像と同一視し、深い構造的関係を確立する。
• 同値変換によって生成される対称テンソル代数を構成し、それが可換かつ余可換なバイ代数上の抽象的テンソル代数と同型であることを証明する。
• ペツァーナの彩色グラフを用いて高次元に拡張し、n次元擬多様体を符号化し、組み合わせ的曲率およびトポロジーを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の局所的近傍タイプの集合から、一般相対性理論の重要な特徴（決定論的性、局所的進化、コーシー葉層構造）を保ちながら、有限で離散的な時空をどのように構築できるか？
• RQ2 離散的時空における微分同相変換不変性の組み合わせ的アナロジーは何か。また、代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 1+1次元における時空配置間の同値写像は、記号的力学における既知の構造とどの程度一致するか？
• RQ4 組み合わせ的時空における同値変換の代数的構造は完全に特徴づけられるか。また、バイ代数とどのように関係するか？
• RQ5 曲率およびグローバルトポロジーの概念は、高次元時空の離散的・組み合わせ的枠組みにどのように符号化できるか？

主な発見

• 1+1次元において、組み合わせ的時空配置は非負整数の行列、有向グラフ、対称テンソルによって同値に記述可能である。
• 時空配置間の局所的同値写像は、基本的な行列変換によって生成され、有限型部分シフトにおけるフロー同値写像と同型である。
• これらの同値変換によって生成される対称テンソル代数は、可換かつ余可換なバイ代数上の抽象的テンソル代数と同型である。
• 組み合わせ的時空における保存量はしばしば局所的フローに対応し、粒子的実体として解釈可能である。
• 高次元において、本モデルはペツァーナの彩色グラフを用いてn次元擬多様体を表現し、トポロジーおよび曲率の組み合わせ的記述を可能にする。
• 本フレームワークは、因果律および情報保存を尊重する離散的・有限的・局所的力学を支持し、バックグラウンド独立な量子重力のモデルとしての可能性を示唆する。