[論文レビュー] Combinatorial systolic inequalities

Ryan Kowalick, Jean‐François Lafont+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、滑らかな単体分割による多様体上における古典的リーマン的サイクリック不等式とその組合せ的類似物との間の対応関係を確立する。著者らは、特定の多様体のクラスがリーマン的サイクリック不等式を満たすための必要十分条件が、それらの多様体のすべての滑らかな単体分割に対して対応する組合せ的サイクリック不等式が成り立つことであることを示し、微分幾何学と離散位相幾何学を結びつける。また、単体分割が幾何的データを符号化できること、逆に幾何的構造が組合せ的データとして再構成できることを証明する。

ABSTRACT

We establish combinatorial versions of various classical systolic inequalities. For a smooth triangulation of a closed smooth manifold, the minimal number of edges in a homotopically non-trivial loop contained in the $1$-skeleton gives an integer called the combinatorial systole. The number of top-dimensional simplices in the triangulation gives another integer called the combinatorial volume. We show that a class of smooth manifolds satisfies a systolic inequality for all Riemannian metrics if and only if it satisfies a corresponding combinatorial systolic inequality for all smooth triangulations. Along the way, we show that any closed Riemannian manifold has a smooth triangulation which "remembers" the geometry of the Riemannian metric, and conversely, that every smooth triangulation gives rise to Riemannian metrics which encode the combinatorics of the triangulation. We give a few applications of these results.

研究の動機と目的

• 滑らかな単体分割を用いて、リーマン幾何学における古典的サイクリック不等式の離散的類似を確立すること。
• 特定の多様体のクラスに対してリーマン的サイクリック不等式が成り立つことと、それら多様体のすべての滑らかな単体分割に対して対応する組合せ的サイクリック不等式が成り立つことが同値であることを示すこと。
• 任意の閉じたリーマン多様体が、辺および単体のサイズが幾何的構造を一様に保つような滑らかな単体分割を持つことの証明。
• 任意の滑らかな単体分割が、組合せ的ループ長さを一様な乗法的定数の範囲内で保つリーマン計量の1次スケルトンとして実現可能であることを示すこと。
• 幾何的不変量（サイクル長、体積）と組合せ的不変量（組合せ的サイクル長、離散体積）との間の基礎的枠組みを構築し、その際、漸近的スケーリングの性質を保つこと。

提案手法

• 多様体をユークリッド空間に埋め込み、細かい立方格子と交差させることで滑らかな単体分割を構成するウィットニーの手法を用いる。
• ナッシュの等長埋め込み定理を適用し、辺および単体のサイズのレベルでリーマン計量の幾何的構造を保証する。
• 1次スケルトン内のホモトピー的に非自明なループに含まれる辺の最小数として、組合せ的サイクル長を定義する。
• 単体分割に含まれる最高次元の単体の数として、組合せ的体積を定義する。
• 各n単体を単位体積かつ等辺長をもつ正則単体として扱い、単体分割上に区分的ユークリッド計量を構成する。
• codimension-2の特異点を帰納的に滑らかに処理することで、離散体積を近似し、ループ長を制御する滑らかなリーマン計量を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的リーマン的サイクリック不等式は、単体分割を用いて完全に組合せ的言語に再定式化可能か？
• RQ2 リーマン的設定におけるサイクリック不等式の有効性と、単体分割上でのその組合せ的類似物との間に一対一の対応関係が存在するか？
• RQ3 任意の閉じた多様体上のリーマン計量は、辺および単体のサイズが計量に対して一様に有界となるような滑らかな単体分割に符号化可能か？
• RQ4 任意の滑らかな単体分割は、ループの組合せ的長さが普遍的な乗法的定数の範囲内で保たれるリーマン計量の1次スケルトンとして実現可能か？
• RQ5 離散的および連続的設定におけるサイクル長と体積の漸近的スケーリングの関係は何か？

主な発見

• 閉じた滑らかなn次元多様体のクラスが、$\operatorname{Sys}_g(M) \leq C \sqrt[n]{\operatorname{Vol}_g(M)}$ の形のリーマン的サイクリック不等式を満たすための必要十分条件は、すべての滑らかな単体分割に対して、対応する組合せ的サイクリック不等式 $\operatorname{Sys}_{\mathcal{T}}(M) \leq C' \sqrt[n]{\operatorname{Vol}_{\mathcal{T}}(M)}$ が成り立つことである。
• 任意の閉じたリーマン多様体に対して、最高次の辺長とその最高次元単体の体積のn乗根との比が、次元定数 $\delta_n$ で有界であるような滑らかな単体分割が存在する。
• 任意の滑らかな単体分割に対して、計量の総体積が任意の $\varepsilon > 0$ に対して組合せ的体積と差が小さくなるようなリーマン計量が存在し、任意の $g$-測地線ループは、長さが測地線長の $\kappa_n$ 倍以内の自由ホモトピー類に属する辺ループをもつ。
• 計量符号化定理における定数 $\kappa_n$ は次元 $n$ のみに依存し、すべての単体分割に対して一様な制御が保証される。
• 低次元単体に対しても同様の結果が成り立ち、最大のk単体直径とそのk次元体積のk乗根との比を有界にする定数 $\delta_{n,k}$ が存在する。
• リーマン的および組合せ的サイクリック不等式の等価性により、グロモフによって証明された本質的多様体におけるサイクリック不等式が、普遍的定数（本質的多様体のクラスにのみ依存）を用いて離散的設定でも成立することが示される。