[論文レビュー] Combinatorial $t$-designs from special polynomials

Cunsheng Ding, Chunming Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限体 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上の特別な多項式、特に o-多項式と o-単項式を用いた $t$-設計の一般構成法を2つ提示する。o-多項式は最初の構成法によって $2$-設計および $3$-設計を生成することを証明し、o-単項式は $3$-設計を生成する。第二の構成法は、o-多項式から $3$-設計を生成するように拡張され、Cherowitzo, Payne, Subiaco などの特定の族について、その存在を示唆する予想と実験的証拠が提示される。

ABSTRACT

Combinatorial $t$-designs have nice applications in coding theory, finite geometries and several engineering areas. There are two major methods of constructing $t$-designs. One of them is via group actions of certain permutation groups which are $t$-transitive or $t$-homogeneous on some point set. The other is a coding-theoretical one. The objectives of this paper are to introduce two constructions of $t$-designs with special polynomials over finite fields GF$(q)$, and obtain $2$-designs and $3$-designs with interesting parameters. A type of d-polynomials is defined and used to construct $2$-designs. Under the framework of the first construction, it is shown that every o-polynomial over GF$(2^m)$ gives a $2$-design, and every o-monomial over GF$(2^m)$ yields a $3$-design. Under the second construction, every $o$-polynomial gives a $3$-design. Some open problems and conjectures are also presented in this paper.

研究の動機と目的

• 有限体上の多項式を用いた $t$-設計の一般的構成法を開発すること、特に o-多項式や o-単項式といった特殊なタイプに焦点を当てる。
• 組合せ論的 $t$-設計と有限体多項式の間の関係を確立すること、特にハイパーオヴァルと射影平面に関連するものに注目する。
• $\mathrm{GF}(2^m)$ 上の o-多項式および o-単項式を用いて、明示的なパラメータを有する $2$-および $3$-設計の無限族を生成すること。
• 構成された設計の自己同型性および不変性の性質を調査し、アフィン不変型と非アフィン不変型のケースを区別すること。
• 特に、拡張された構成におけるブロック集合のサイズに関する未解決問題と予想を提示し、多項式に基づく設計理論分野におけるさらなる研究を促進すること。

提案手法

• 多項式 $f$ を $\mathrm{GF}(q)$ 上にとり、$B_{(f,b,c)} = \{f(x) + bx + c \mid x \in \mathrm{GF}(q)\}$ として画像集合を定義し、ブロックはサイズ $k$ に基づいて選択される。
• 最初の構成法では、一般アフィン群 $\mathrm{GA}_1(\mathrm{GF}(q))$ の作用を用い、$f$ が置換多項式である場合に $2$-設計が得られ、$f$ が $\mathrm{GF}(2^m)$ 上の o-単項式である場合に $3$-設計が得られることを証明する。
• 第二の構成法では、ブロック集合を三重組 $(a,b,c)$ を含むように拡張し、$\hat{\mathcal{B}}_{(f,k)}$ を定義し、任意の多項式 $f$ に対して $2$-設計が得られ、特定の条件下で $3$-設計が得られることを証明する。
• 本稿では、$2$-設計をサポートする特別な多項式クラスとして d-多項式を定義し、その性質を用いて一般の o-多項式から $2$-設計を導出する。
• 奇数 $q$ の場合、$\mathrm{GF}(q)$ 上の多項式から $2$-設計を調査し、特定の多項式形から対称設計が得られることを示す。
• 拡張された構成 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ を導入し、$\hat{\mathcal{B}}_{(f,k)}$ を $\mathrm{GF}(q)^3$ 上で定義する。$f$ が o-多項式であり、$|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ であるとき、この構成が $3$-設計を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上の o-多項式を用いて、一般の多項式に基づく構成法によって $3$-設計を構成できるか？
• RQ2 拡張された構成 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ が $2$-設計ではなく $3$-設計を生成するための条件は何か？
• RQ3 すべての o-多項式 $f$ で $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ を満たす場合、$3$-設計が得られるか？Cherowitzo, Payne, Subiaco などの族に対してもその証明は可能か？
• RQ4 o-多項式から構成された $3$-設計はアフィン不変であるか？また、それらの自己同型群は $2$-設計のそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 非単項式の o-多項式に対し、拡張された構成 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ が $t \geq 3$ の $t$-設計を生成できるか？その必要十分条件は何か？

主な発見

• すべての $\mathrm{GF}(2^m)$ 上の o-多項式は最初の構成法によって $2$-設計を生成する。また、すべての o-単項式は同じ枠組みの中で $3$-設計を生成する。
• 第二の構成法では、$\mathrm{GF}(2^m)$ 上の o-多項式から $3$-設計が得られ、ブロックサイズ $k = q/2 = 2^{m-1}$ であり、$|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ のとき、設計パラメータ $\lambda = (q-4)(q-1)q/8$ が得られる。
• $m \geq 5$ が奇数の場合、非同値な o-多項式（$(ax+b)^e + b^e$ の形でないもの）が $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ を満たすという予想は、$m \in \{5,7,9\}$ に対して Magma の実験によって裏付けられており、これらのケースでは $3$-設計が存在することが示唆される。
• 構成された $3$-設計は必ずしもアフィン不変ではなく、その $3$-設計性は直接的に検証する必要があるため、構造的に特異であることが示唆される。
• 拡張された構成 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ は任意の o-多項式に対して $2$-設計を生成し、ブロック集合のサイズ条件が満たされれば $3$-設計も生成する。これは o-多項式が $t \geq 3$ の $t$-設計を非常に効果的に生成できることを示している。
• 本稿では、o-多項式から得られる $2$-設計が常にアフィン不変ではないことが確立されており、非対称な群作用から生じるため、設計理論において特に興味深いものである。