[論文レビュー] Combinatorics of boson normal ordering and some applications

Paweł Błasiak|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 69被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、シーファー型多項式とアンブロ・カルキュラスを用いてボソン演算子の正規順序化の組合せ的枠組みを構築し、正規順序化表現における係数のためのコンパクトな母関数および漸化式を提供する。ボソン正規順序化、スターリング数およびベル数、およびコherent状態との間の関係を確立し、そうでない複雑な演算子展開に対して体系的な代数的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We provide the solution to the normal ordering problem for powers and exponentials of two classes of operators. The first one consists of boson strings and more generally homogeneous polynomials, while the second one treats operators linear in one of the creation or annihilation operators. Both solutions generalize Bell and Stirling numbers arising in the number operator case. We use the advanced combinatorial analysis to provide closed form expressions, generating functions, recurrences, etc. The analysis is based on the Dobiński-type relations and the umbral calculus methods. As an illustration of this framework we point out the applications to the construction of generalized coherent states, operator calculus and ordering of deformed bosons.

研究の動機と目的

• 高階の形式的冪級数およびアンブロ・カルキュラスを用いて、ボソン演算子の式の正規順序化に体系的な組合せ的アプローチを開発すること。
• 正規順序化されたボソンの文字列や多項式の係数に現れる組合せ的構造（例えばスターリング数およびベル数）を特定および特徴づけること。
• ドビンスキー型関係を通じて、正規順序化、指数的母関数、およびコherent状態の行列要素との間の関係を確立すること。
• ボソン演算子の単項性原理を一般化し、正規順序化係数の漸化式および閉形式表現を導出するために適用すること。
• 形式的冪級数技法を用いて、変形ボソン、一般化されたコherent状態、および置換定理への応用を探索すること。

提案手法

• ボソンの交換関係 $[a, a^\bullet] = 1$ を形式的冪級数枠組みで表現するため、$X$ および $D$ 表現（乗法的および微分作用素）を用いる。
• アンブロ・カルキュラスおよびシーファー型多項式列を適用し、正規順序化係数を $A(\lambda)e^{xB(\lambda)}$ の形の指数的母関数として表現する。
• 降下作用素および上昇作用素による単項性原理を用いて、正規順序化係数の漸化式を導出する。
• 母関数および形式的冪級数を用いて、$(a^\dagger r a^s)^n$ および一般化されたケル・ハミルトニアンの係数のコンパクトな表現を導出する。
• シーファー恒等式および二項型性質を用いて、演算子正規順序化の文脈における組合せ的恒等式を一般化する。
• 形式的冪級数の置換定理を導入し、演算子関数の展開およびコherent状態表現を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン単項式および多項式の正規順序化における係数の背後にある組合せ的構造は何か？
• RQ2 単項性原理は、正規順序化係数の漸化式および閉形式を体系的に導出するためにどのように適用可能か？
• RQ3 正規順序化係数とスターリング数およびベル数などの古典的組合せ的数との正確な関係は何か？
• RQ4 母関数およびシーファー型多項式は、ボソン系におけるコherent状態および真空期待値の取り扱いをどのように統一するか？
• RQ5 形式的冪級数およびアンブロ・カルキュラスは、有限な演算子列を超えて正規順序化問題を一般化するために果たす役割は何か？

主な発見

• $(a^\dagger a)^n$ の正規順序化における係数は第二種スターリング数として特定され、それらの指数的母関数はドビンスキー型関係を通じて $e^{\lambda a^\dagger a}$ のコherent状態行列要素と関連づけられる。
• 一般ボソン文字列 $(a^\dagger)^r a^s$ の正規順序化は、シーファー型多項式およびその母関数を用いて体系的に生成可能な組合せ的数に帰着する。
• 単項性原理は、$a^\dagger$ および $a$ の同次多項式に対して、正規順序化係数の漸化式および閉形式表現を導出する統一的枠組みを提供する。
• 形式的冪級数およびアンブロ・カルキュラスの使用により、ボソン演算子の無限級数展開の正規順序形に対するコンパクトで解析的に取り扱いやすい表現が得られる。
• 一般化されたコherent状態および変形ボソンは、形式的冪級数アプローチから自然に導かれることが示され、モーメント問題および母関数が主要な道具となる。
• 置換定理により、演算子関数を正規順序形に体系的に変換可能であり、この手法の適用範囲が多項式関数にとどまらず拡張される。