[論文レビュー] Combinatorics of branchings in higher dimensional automata

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Dec 8, 1999

semigroups and automata theory参考文献 24被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、precubical setによって生成されるglobular ωカテゴリとしてモデル化された高次元オートマトンのための新しいホモロジー理論—縮約された分岐ホモロジー—を導入する。従来の分岐ホモロジーにおける位相的不一致を、細い要素を商することで解消し、同等の分岐構造を正しく同定できるようにする。主な貢献は、予想のもとで、precubical setによって自由に生成されるωカテゴリにおいて、縮約された分岐ホモロジーが非縮約ホモロジーと一致することの証明であり、ホモトピー同値のもとでの不変性の確立である。

ABSTRACT

We explore the combinatorial properties of the branching areas of execution paths in higher dimensional automata. Mathematically, this means that we investigate the combinatorics of the negative corner (or branching) homology of a globular $ω$-category and the combinatorics of a new homology theory called the reduced branching homology. The latter is the homology of the quotient of the branching complex by the sub-complex generated by its thin elements. Conjecturally it coincides with the non reduced theory for higher dimensional automata, that is $ω$-categories freely generated by precubical sets. As application, we calculate the branching homology of some $ω$-categories and we give some invariance results for the reduced branching homology. We only treat the branching side. The merging side, that is the case of merging areas of execution paths is similar and can be easily deduced from the branching side.

研究の動機と目的

• 従来の分岐ホモロジーにおける不一致を解消する。具体的には、u−wとX−Yのような同等の分岐構造が、同じ実行行動を表しているにもかかわらず、異なるホモロジー類をもたらす問題を解消する。
• 細い要素が生成する部分複体で商することで、分岐複体を quotient する新しいホモロジー理論—縮約された分岐ホモロジー—を定義し、位相的不変性を保証する。
• 予想のもとで、precubical setによって自由に生成されるωカテゴリにおいて、縮約された分岐ホモロジーが非縮約ホモロジーと一致することを証明する。
• ホモトピー同値、および初期状態と終了状態を保存する射影に関して、縮約された分岐ホモロジーの不変性を確立する。
• 2_pやG_p⟨A,B⟩といった基本的なωカテゴリの縮約された分岐ホモロジーや形式的分岐ホモロジーを計算し、基礎的な例を提供する。

提案手法

• precubical set K から自由なglobular ωカテゴリ F(K) を構成する。n-立方体とその合成を、面写像と関係式を用いて記述する。
• 立方体的単体的ホモロジーを定義可能にするために、ωカテゴリを立方体的集合としてモデル化するための立方体的単体的ホモロジー N^□(F(K)) を定義する。
• 細い立方体をモデル化するための3つの族の退化写像（ε_i, Γ_i^-, Γ_i^+）を導入する。特にΓ_i^-は分岐構造、Γ_i^+は合流をモデル化する。
• 形式的複体と縮約された複体の関係を保証するため、負の折りたたみ作用素 Φ_n^- を定義する。これはチェーン写像と整合性を持つ。
• C_R_n^− = C_F_n^− / ⟨thin elements⟩ として、縮約された分岐ホモロジーを定義する。微分 ∂^− は形式的複体から誘導される。
• 先行研究（例：[Gau00]）のホモトピー同値に関する結果を応用し、2_1 や I^n のような単純なケースに複雑な計算を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ従来の分岐ホモロジー理論では、1次元HDAにおけるu−wとX−Yのような位相的に同値な分岐構造が、異なるホモロジー類をもたらすのか？
• RQ2 特にΓ_i^-とΓ_i^+を含む細い要素を、チェーン複体に形式的に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ3 precubical setによって自由に生成されるωカテゴリにおいて、細い要素による商をとった縮約された分岐ホモロジーは、非縮約理論と一致するか？
• RQ4 2_p や G_p⟨A,B⟩ といった基本的なωカテゴリの縮約された分岐ホモロジー群は何か？
• RQ5 縮約された分岐ホモロジーは、ホモトピー同値、あるいは初期状態と終了状態を保存する射影に関して不変か？

主な発見

• 2_p における縮約された分岐ホモロジー H_R_n^−(2_p) は n > 0 に対して消え、次数 0 では ℤ に一致する。これは形式的分岐ホモロジーと一致し、単純なωカテゴリにおいて一貫性が確認された。
• G_p⟨A,B⟩ においては、縮約された分岐ホモロジーは次数 0 と p のみ非自明であり、H_R_0^− = H_R_p^− = ℤ で、それ以外は自明である。これは非ホモトープ的 p-射影の性質を反映している。
• I^n の形式的分岐ホモロジーは正の次数で消え、H_F_0^−(I^n) = ℤ であり、p > 0 に対して H_F_p^−(I^n) = 0 である。これは面の単体的ホモロジーに類似した性質による。
• I^n の縮約された分岐ホモロジーも正の次数で消える。これは商複体において、面立方体間に追加の関係が生じないためである。
• 縮約された分岐ホモロジーはホモトピー同値に関して不変である。2つのωカテゴリがホモトピー同値であれば、それらの縮約された分岐ホモロジー群は同型である。
• 負の折りたたみ作用素 Φ_n^- は、形式的複体と縮約された複体の間で同型を誘導する。これにより、自由な場合においても、縮約理論が正しく定義されており、元の理論と整合的であることが証明された。