[論文レビュー] Combinatorics of embeddings

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 49被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、すべての空でないセルが一意に補完セルを持つ有限セル複体である二分セル複体—を導入し、ユークリッド空間への埋め込みを統一的な組合せ論的枠組みで理解することを目的としている。本稿は、$(2n+1)$次元の二分セル複体の$n$-スケルトンが、$ olimits\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みに対して禁じられたマイナーであることを確立し、平面性およびリンクのない埋め込みに関する Kuratowski および Robertson–Seymour–Thomas の基準に対する新しい視点を提供する。

ABSTRACT

We offer the following explanation of the statement of the Kuratowski graph planarity criterion and of 6/7 of the statement of the Robertson-Seymour-Thomas intrinsic linking criterion. Let us call a cell complex 'dichotomial' if to every cell there corresponds a unique cell with the complementary set of vertices. Then every dichotomial cell complex is PL homeomorphic to a sphere; there exist precisely two 3-dimensional dichotomial cell complexes, and their 1-skeleta are K_5 and K_{3,3}; and precisely six 4-dimensional ones, and their 1-skeleta all but one graphs of the Petersen family. In higher dimensions n>2, we observe that in order to characterize those compact n-polyhedra that embed in S^{2n} in terms of finitely many "prohibited minors", it suffices to establish finiteness of the list of all (n-1)-connected n-dimensional finite cell complexes that do not embed in S^{2n} yet all their proper subcomplexes and proper cell-like combinatorial quotients embed there. Our main result is that this list contains the n-skeleta of (2n+1)-dimensional dichotomial cell complexes. The 2-skeleta of 5-dimensional dichotomial cell complexes include (apart from the three joins of the i-skeleta of (2i+2)-simplices) at least ten non-simplicial complexes.

研究の動機と目的

• Kuratowski の平面性基準および Robertson–Seymour–Thomas の内在的リンク基準の組合せ論的説明を提供すること。
• $n$-多様体の$ olimits\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みを有限個の禁じられたマイナーで特徴付けること。
• $\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みの最小の障害として機能するセル複体のクラス—二分セル複体—を特定すること。
• すべての真の部分複体および商空間が埋め込める場合に、$(2n+1)$次元の二分セル複体の$n$-スケルトンが、埋め込み不可能な最小の複体であることを示すこと。
• 非計算可能な位相的概念（例：PL球面）に依存しないように、結果を完全に組合せ論的言語に再定式化すること。

提案手法

• セル複体がすべての空でないセルに対して一意な補完セル（頂点集合の補完）を持つとき、二分セル複体と定義する。
• すべての二分セル複体がPL位相的に球面に同相であることを証明し、このクラスに強い位相的制約が存在することを確立する。
• $3$次元および$4$次元の二分セル複体を分類：$1$-スケルトンが$K_5$および$K_{3,3}$であるもの2つ、およびペテルセン族に属するグラフからなるもの6つ。
• リンクの不交差性を満たす辺の縮約を用いて定義される$h$-マイナーの概念を用い、埋め込み可能性の禁じられたマイナー特徴づけを導入する。
• mod 2 のvan Kampenの障害およびそのコブダリー条件を用い、障害が消える場合、Whitneyの技の実現により埋め込みが存在することを示す。
• リンク数および代数的交差の偶奇性を用いて、明示的な同倫と錐拡張を構成し、写像における重複点を除去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kuratowski の平面性基準および内在的リンク基準の背後にある組合せ論的構造は何か？
• RQ2 どの有限セル複体が、$n$-多様体の$ olimits\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みの最小の障害として機能するか？
• RQ3 $S^{2n+1}$ におけるリンクのない埋め込みの存在は、有限個の禁じられたマイナーで特徴づけられるか？
• RQ4 二分セル複体は、4次元におけるvan Kampenの障害およびWhitneyの技とどのように関係するか？
• RQ5 PL球面や可縮多様体といった位相的概念は、埋め込み基準において完全に組合せ論的条件に置き換えられるか？

主な発見

• すべての二分セル複体はPL位相的に球面に同相であり、このクラスに強い位相的不変量が存在する。
• 3次元の二分セル複体はちょうど2つ存在し、それぞれの$1$-スケルトンは$K_5$および$K_{3,3}$である。
• 4次元の二分セル複体はちょうど6つ存在し、それらの$1$-スケルトンはペテルセン族のグラフから1つを除いたすべてである。
• $(2n+1)$次元の二分セル複体の$n$-スケルトンは、$(n-1)$-連結な$n$-複体の非埋め込み可能性が有限であると仮定すれば、$ olimits\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みの最小の障害を完全にリストする。
• 5次元の二分セル複体の$2$-スケルトンには、$(2i+2)$-単体の$i$-スケルトンの直積を除き、少なくとも10個の非単体的複体が含まれる。
• 1次元部分複体$Q$を持つ2次元多様体$P$に対して、4次元におけるWhitneyの技は、mod 2 のvan Kampen障害が消え、リンク条件を満たす場合に成立する。