[論文レビュー] Combinatorics of $\gamma$-structures

Hillary S. W. Han, Thomas J. X. Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

RNA and protein synthesis mechanisms参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、生成関数と非可約シャドウを用いて、位数 ≤ γ である非可約部分図形からなるRNA偽二重鎖構造（γ-構造）の記号的列挙フレームワークを開発する。γマッチングおよびγ形状の正確な生成関数とプアウゼュ展開を導出し、その構造の数に対する漸近公式を導出。γ = 1 から 10 に対して明示的な成長率を提示。

ABSTRACT

In this paper we study canonical $\\gamma$-structures, a class of RNA pseudoknot structures that plays a key role in the context of polynomial time folding of RNA pseudoknot structures. A $\\gamma$-structure is composed by specific building blocks, that have topological genus less than or equal to $\\gamma$, where composition means concatenation and nesting of such blocks. Our main result is the derivation of the generating function of $\\gamma$-structures via symbolic enumeration using so called irreducible shadows. We furthermore recursively compute the generating polynomials of irreducible shadows of genus $\\le \\gamma$. $\\gamma$-structures are constructed via $\\gamma$-matchings. For $1\\le \\gamma \\le 10$, we compute Puiseux-expansions at the unique, dominant singularities, allowing us to derive simple asymptotic formulas for the number of $\\gamma$-structures.

研究の動機と目的

• 位数が有界なRNA偽二重鎖構造のクラスである、正規γ-構造の組合せ的フレームワークの構築。
• 非可約シャドウとの関数的関係を用いて、γマッチングの生成関数を導出する。
• ハラーザイガー再帰を用いて、位数 ≤ γ の非可約シャドウの生成多項式を再帰的に計算する。
• 支配的特異点におけるプアウゼュ展開を計算し、γ-構造の数に対する漸近公式を導出する。
• フレームワークをτ正規γ-構造およびアーキブ数と1-アーキブ数を追跡する2変数生成関数へ拡張する。

提案手法

• 記号的列挙を用いて、γマッチングの生成関数を位数 ≤ γ の非可約シャドウの生成関数に関連付ける。
• γマッチングを、位数 ≤ γ の非可約シャドウの合成と定義し、1-アーキブおよび孤立アーキブを除外する。
• 非可約シャドウの生成多項式を再帰的に計算するためにハラーザイガー再帰を適用する。
• 多項式 $ P_{\tau}(u,X) $ を含む関数方程式の解として、γマッチングの生成関数を導出する。
• 生成関数の支配的特異点におけるプアウゼュ級数展開を用いて、漸近的挙動を抽出する。
• 組合せ的マーカーを用いて1-アーキブとスタック長を追跡することで、τ正規γ-構造の2変数生成関数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた位数上限 γ に対して、正規γ-構造の数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 γマッチングの生成関数は、位数 ≤ γ の非可約シャドウの観点からどのように表現できるか？
• RQ3 1-アーキブとスタック構造は、γ-構造の記号的列挙において果たす役割は何か？
• RQ4 支配的特異点におけるプアウゼュ展開は、単純な漸近公式の導出をどのように可能にするか？
• RQ5 ポリマー・ゼータ性は、γ-構造の組合せ的構造と定量的に関連付けることができるか？

主な発見

• 1 ≤ γ ≤ 10 の範囲で、γマッチングの数は漸近的に $ [z^n] \mathbf{G}_{\gamma}(z) \sim k_{\gamma} n^{-3/2} (\rho_{\gamma}^{-1})^n $ と成長する。ここで $ \rho_{\gamma}^{-1} $ は支配的特異点の半径である。
• γ = 1 の場合、漸近的成長率は $ [z^n] \widetilde{\mathbf{G}}_{1,1}(z) \sim j_1 n^{-3/2} (3.8782)^n $ であり、ネーベルとヴァインバーグ（2011年）の先行結果を確認する。
• γ = 1 の場合、1-アーキブを含むτ正規γ図の生成関数は代数的であり、$ \widetilde{\mathbf{G}}_{\tau,\gamma}(z) = \mathbf{H}_{\gamma}\left( \frac{u_{\tau}(z)z^2}{(1-z)^2} \right) $ で与えられる。ここで $ u_{\tau}(z) = \frac{(z^2)^{\tau-1}}{z^{2\tau} - z^2 + 1} $ である。
• 2変数生成関数 $ \mathbf{A}_{\tau,\gamma}(z,t) $ は頂点数とアーキブ数の両方を追跡でき、γ-構造におけるアーキブ分布の中心極限定理の適用を可能にする。
• ポリマー・ゼータ性はγ-構造の組合せ的性質であることが示され、長さℓのアーキブの確率が $ k \ell^c $（c > 1）で有界であることが示され、アルゴリズム的スパarsificationを支持する。
• RNA偽二重鎖構造データベースに登録された構造の約98%が正規1-構造であるため、高 genus 構造（例：位数2）はまれであるが、組合せ的に有意義である。