[論文レビュー] Combinatorics of $\mathbf{R}$-, $\mathbf{R^{-1}}$-, and $\mathbf{R^*}$-operations and asymptotic expansions of feynman integrals in the limit of large momenta and masses

K.G. Chetyrkin|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、次元正則化における摂動的正則化を単純化するため、量子場理論における R, R⁻¹, および R* 操作の統一的組合せ的枠組みを構築する。紫外発散の計算を質量ゼロのプロパゲーター積分に還元する簡潔なアルゴリズムを確立し、大運動量および大質量極限におけるフェルミオン積分の有限な漸近展開を証明する。この展開は、最小減算されたユークリッド振幅に対して有効である。

ABSTRACT

A generalization of the forest technique procedure --- the $R^{-1}$-operation---is elaborated and then employed to treat a variety of problems. First, it is employed to reveal the underlying simple structure of the Bogoliubov-Parasiuk renormalization prescription based on momentum subtractions. Second, we use this structure to derive a generalized Zimmermann identity connecting two different renormalized versions of a given Feynman integral. Third, the recursive procedure to minimally subtract the ultraviolet and infrared divergences from euclidean, dimensionally regularized Feynman integrals---the $R^*$-operation--- is simplified by reformulating it in terms of the R-operation alone. The new formulation is shown to lead immediately to a simple and regular algorithm for evaluating the overall ultraviolet divergences of arbitrary dimensionally regularized Feynman integrals, (including the ones appearing in two-dimensional field-theoretical models), the algorithm neatly reducing the problem to computing some massless propagator-type integrals. Finally, we construct a brief and concise proof of a general theorem which gives an explicitly finite large momenta and/or masses asymptotic expansion of an arbitrary (minimally subtracted) euclidean Feynman integral.

研究の動機と目的

• ボゴリューボフ＝パラシウク正則化規定の組合せ的構造を明確にするために、R⁻¹ 操作を一般化すること。
• 異なるフェルミオン積分の正則化バージョンを結ぶ一般化されたジンマーマン恒等式を導出すること。
• MS-スキームで用いられる R* 操作を、R 操作のみを用いて完全に再定式化し、そのアルゴリズム的実装を単純化すること。
• 次元正則化されたフェルミオン積分の全紫外発散を計算する、規則的かつ有限なアルゴリズムを構築すること。この問題は、質量ゼロのプロパゲーター型積分への還元によって簡略化される。
• 最小減算されたユークリッドフェルミオン積分が大運動量および大質量極限において有効な一般有限漸近展開を、簡潔に証明すること。

提案手法

• R⁻¹ 操作を R 操作の組合せ的逆元として導入し、森のような構造を用いた再帰的発散減算を可能にする。
• R⁻¹ 操作を用いて、特に BPHZ スキームにおける運動量減算に基づく正則化の本質的な単純さを明らかにする。
• MS-スキームで用いられる R* 操作を、R 操作のみで再定式化し、別個の R* 再帰の必要性を排除する。
• 一般化された森技術を用いて、重複する発散を体系的に取り扱い、次元正則化における補正項を定義する。
• 全紫外発散の評価を、標準的な質量ゼロのプロパゲーター型積分の計算に還元し、計算を著しく簡略化する。
• R* 正則化を用いて、大運動量および大質量領域におけるフェルミオン積分の有限な漸近展開を導出する。この展開は、摂動論のすべての次数において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R⁻¹ 操作を体系的に定義し、運動量減算に基づく正則化の構造を明確にするにはどうすればよいか？
• RQ2 異なるフェルミオン積分の正則化バージョン間の組合せ的関係は何か？ 一般化されたジンマーマン恒等式によって捉えられるか？
• RQ3 MS-スキームにおける R* 操作を、R 操作のみに完全に再定式化できるか？ これにより、そのアルゴリズム的実装が単純化されるか？
• RQ4 任意の次元正則化フェルミオン積分の全紫外発散を計算する、普遍的かつ規則的なアルゴリズムが存在するか？
• RQ5 大運動量および大質量極限における最小減算されたユークリッドフェルミオン積分の漸近展開の構造は何か？

主な発見

• R⁻¹ 操作により、運動量減算に基づくボゴリューボフ＝パラシウク正則化規定の明確な組合せ的解釈が得られる。
• 一般化されたジンマーマン恒等式が導出され、あるフェルミオン積分の2つの異なる正則化バージョンが R⁻¹ 操作によって結びつけられる。
• R* 操作が R 操作のみで再定式化され、紫外および赤外補正項の計算に向けたより単純で規則的なアルゴリズムが得られる。
• 任意の次元正則化フェルミオン積分の全紫外発散が、標準的な質量ゼロのプロパゲーター型積分の評価に還元され、計算が著しく効率化される。
• 最小減算されたユークリッドフェルミオン積分が大運動量および大質量極限において有効な一般有限漸近展開が厳密に証明され、摂動論のすべての次数において有効である。
• 本手法は、質量付きおよび質量なしの理論、さらには2次元場の理論に対しても一貫して適用可能であり、MS-スキームの運動量および質量に関する多項式的依存性を保つ。