[論文レビュー] Combinatorics of the asymmetric exclusion process on a semi-infinite lattice

Tomohiro Sasamoto, Lauren Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半無限格子上の非対称排除過程（ASEP）の定常測度と、特殊化された有限ASEPモデルとの間で驚くべき関係を確立する。パラメータβ = c（定常流量）を用い、有限ASEPの右境界からの抜出自率δ = -βと設定することで、最初のLサイトにおける相関関数が、半無限ASEPのそれと完全に一致する。この対応関係により、階段テーブュレートを用いた有限相関関数の組み合わせ的公式が得られる。

ABSTRACT

We study two versions of the asymmetric exclusion process (ASEP) -- an ASEP on a semi-infinite lattice with an open left boundary, and an ASEP on a finite lattice with open left and right boundaries -- and we demonstrate a surprising relationship between their stationary measures. The semi-infinite ASEP was first studied by Liggett and then Grosskinsky, while the finite ASEP had been introduced earlier by Spitzer and Macdonald-Gibbs-Pipkin. We show that the finite correlation functions involving the first L sites for the stationary measures on the semi-infinite ASEP can be obtained as a nonphysical specialization of the stationary distribution of an ASEP on a finite one-dimensional lattice with L sites. Namely, if the output and input rates of particles at the right boundary of the finite ASEP are beta and delta, respectively, and we set delta=-beta, then this specialization corresponds to sending the right boundary of the lattice to infinity. Combining this observation with work of the second author and Corteel, we obtain a combinatorial formula for finite correlation functions of the ASEP on a semi-infinite lattice.

研究の動機と目的

• 半無限ASEPの定常測度と特殊化された有限ASEPモデルとの間の深い代数的・組み合わせ的関係を確立すること。
• 階段テーブュレートを用いて、半無限ASEPにおける有限相関関数の組み合わせ的解釈を提供すること。
• 有限ASEPにおける見かけ上物理的でないパrameterの特殊化（δ = -β）が、半無限ASEPの文脈では意味のある物理的解釈を持つことを示すこと。
• 定常測度の正確な計算を可能にする行列アンザッツフレームワークと組み合わせ構造（階段テーブュレート）を統合すること。

提案手法

• 行列アンザッツ形式を用いて、有限ASEPおよび半無限ASEPモデルの定常測度を関連付ける。
• 非物理的パrameterの特殊化を適用：有限ASEPの定常分布において、cが定常流量であるとしてδ = -β = -cと設定する。
• CorteelとWilliamsによる階段テーブュレートに関する既知の結果を活用し、有限ASEPの定常確率をラベル付きヤング図形の和として表現する。
• 特殊化後、δ = -βの測度が正かつ定常的であることを示すことで、半無限ASEPと同一の代数的関係を満たすことを証明する。
• 半無限ASEPの相関関数と、パラメータα, β = c, γ, δ = -c, qを含む重み付き階段テーブュレートの和との間の双対写像を確立する。
• 極限的議論と固有値解析を用いて、特殊化の妥当性および得られる測度の正値性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ASEPにおける非物理的パrameterの特殊化（δ = -β）が、半無限ASEPの物理的に意味のある定常測度をもたらすか？
• RQ2 半無限ASEPの定常相関関数の背後にある組み合わせ的構造は何か？
• RQ3 行列アンザッツ形式は、有限格子と無限格子ASEPモデルを結ぶためにどのように拡張可能か？
• RQ4 パrameterの特殊化から得られる符号付き測度が、いつ正であり、したがって定常測度として解釈可能になるか？
• RQ5 階段テーブュレートは、半無限ASEPの定常分布をどのように符号化しているか？

主な発見

• 半無限ASEPの定常測度における左端Lサイトの有限相関関数は、パラメータβ = cおよびδ = -cをもつ有限ASEPの定常確率と完全に一致する。
• 半無限ASEPの定常測度は、右境界を無限大に送る特殊化δ = -βの極限として有限ASEP測度の極限として得られる。
• 半無限ASEPの相関関数は、パラメータα, β = c, γ, δ = -c, qを含む重み付き階段テーブュレートの和として組み合わせ的公式で表せる。
• 形式的に物理的でない（負のレートを含む）特殊化δ = -βであっても、行列アンザッツの関係におけるキャンセルのおかげで、正かつ定常的測度が得られる。
• 半無限ASEPにおける定常流量cは、有限ASEPにおけるパラメータcに対応し、定理5.1の不等式を満たすすべての有効な(a,c)対は、適切なα, β, γ, δによって実現可能である。
• サイズLの階段テーブュレートの重みの全次数はL(L+1)/2であり、u = 1とすると標準的なASEPダイナミクス（右移動レート1）が回復される。