[論文レビュー] Combinatorics on permutation tableaux of type $A$ and type $B$

Sylvie Corteel, Jang Soo Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、A型置換テーブルックスの無制限列に関する生成関数の二つの双対的証明を提示し、$ t = -1 $ に特異化することで符号不均衡性の公式が得られる。Corteel-Nadeauの双対的写像をA型からB型置換テーブルックスに拡張し、LamとWilliamsの結果を一般化した。両双対的写像を代替表現上のジグザグ写像として表現することで、A型とB型の組合せ的構造を統一した。

ABSTRACT

We give another bijective proof of a result of Corteel and Nadeau. We find a generating function related to unrestricted columns of permutation tableaux. As a consequence, we obtain a sign-imbalance formula for permutation tableaux. We extend the first bijection of Corteel and Nadeau between permutations and permutation tableaux to type $B$ objects. Using this type $B$ bijection, we generalize a result of Lam and Williams. We prove that the bijection of Corteel and Nadeau and our type $B$ bijection can be expressed as zigzag maps on the alternative representation.

研究の動機と目的

• A型置換テーブルックスにおける無制限列に関する生成関数の二つの双対的証明を提供すること。
• 生成関数を $ t = -1 $ に特異化することで、置換テーブルックスの符号不均衡性の公式を導出すること。
• Corteel-Nadeauの双対的写像をA型からB型置換テーブルックスに拡張すること。
• LamとWilliamsのB型置換テーブルックスに関する結果を、新しい双対的写像を用いて一般化すること。
• 元の双対的写像およびB型の双対的写像を、置換テーブルックスの代替表現上のジグザグ写像として表現すること。

提案手法

• 無制限列を符号化するための生成関数 $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $（ここで $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $）の使用。
• B型置換テーブルックスとB型置換の間の双対的写像 $ \Phi_{\mathrm{B}} $ の構成。これはCorteel-Nadeauの双対的写像を拡張する。
• 置換テーブルックスの代替表現の定義：$ \uparrow $、$ \leftarrow $ を用い、0と1を除去する。
• 代替表現上のジグザグ写像 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $ の導入。これはテーブルックスを符号付き置換へ写像する。
• $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} = \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $ であることを証明。ここで $ \varphi $ はRL最小値およびサイクル分解を用いて定義される。
• 再帰関係と組合せ的議論を用いて、生成関数およびその特殊ケースの正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A型置換テーブルックスにおける無制限列の生成関数を、どのように双対的証明できるか？
• RQ2 符号不均衡性の公式 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $ の組合せ的解釈は何か？
• RQ3 Corteel-Nadeauの置換とA型置換テーブルックスの間の双対的写像を、B型対象へどのように拡張できるか？
• RQ4 生成関数 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $ は、双対的メソッドによって導出可能か？
• RQ5 代替表現上のジグザグ写像は、Corteel-Nadeauの双対的写像およびB型双対的写像とどのように関係するか？

主な発見

• A型置換テーブルックスにおける無制限列の生成関数は $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $ であり、ここで $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $ である。
• $ t = 2 $ のとき、和 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} 2^{\operatorname{urc}(T)} $ は $ \{1,2,\dots,n+1\} $ の連結置換の数に等しくなる。これは組合せ的解釈を与える。
• $ t = -1 $ のとき、符号不均衡性の公式は $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $ を与え、$ n \equiv 0,1 \pmod{4} $ ならば $ (-1)^k \cdot 2^{2k} $、$ n \equiv 2 \pmod{4} $ ならば 0、$ n \equiv 3 \pmod{4} $ ならば $ (-1)^{k+1} \cdot 2^{2k+1} $ に評価される。
• $ \Phi_{\mathrm{B}} $ はCorteel-Nadeauの双対的写像をB型置換テーブルックスに拡張し、$ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $ を満たす。これはLamとWilliamsの結果を一般化する。
• 代替表現上のジグザグ写像 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $ は、$ \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $ と一致する。ここで $ \varphi $ はRL最小値およびサイクル分解を用いて定義される。
• A型置換テーブルックスおよび標準ヤングテーブルックスの符号不均衡性の絶対値は、$ n \not\equiv 2 \pmod{4} $ のとき $ 2^{\lfloor n/2 \rfloor} $ に等しく、より深い組合せ的関係を示唆する。